Approfondir les inégalités exercices corrigés pour lycéens

Approfondissez vos connaissances en inégalités avec des exercices corrigés axés sur les équivalences, parfait pour les élèves du lycée.

Exercice approfondi sur les inégalités

Dans cet exercice, nous allons explorer les inégalités en profondeur avec différents scénarios mathématiques. Voici les questions :

Résoudre l'inégalité suivante : \(2x + 3 < 11\)
Démontrer que si \(x > 2\), alors \(3x - 5 > 1\)
Comparer les deux expressions \(x^2 + 4x\) et \(2x^2 + 6x\) pour \(x \leq 0\)
Résoudre l'inégalité quadratique \(x^2 - 5x + 6 > 0\)
Résoudre et représenter graphiquement l'inégalité \( |x - 4| < 3\)
Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour \(a = 2\) et \(b = 3\).
Pour quelles valeurs de \(x\) l'inégalité \(x^2 - 4x + 4 \leq 0\) est-elle vraie ?

Si \(a < b\), alors \(a + c < b + c\) pour tout \(c\).
Si \(a < b\), alors \(a \cdot c < b \cdot c\) si \(c > 0\) et \(a \cdot c > b \cdot c\) si \(c < 0\).
Pour une expression quadratique d'un second degré \(ax^2 + bx + c\), l'inégalité dépend du signe de \(a\) et des racines.
Pour une valeur absolue, l'inégalité \(|x - a| < b\) se traduit par \(a - b < x < a + b\).

Commencez par isoler la variable si possible.
Utilisez des tests de signes lorsque vous traitez des polynômes.
Faites attention aux valeurs limites qui peuvent modifier l'intervalle de solution.
Pensez à toujours vérifier les solutions dans l'inégalité d'origine.
Pour les équations de valeur absolue, envisagez les deux cas possibles.

Pour résoudre \(2x + 3 < 11\):
On commence par soustraire 3 des deux côtés:\(2x < 8\). Puis on divise par 2: \(x < 4\).
Pour démontrer \(x > 2 \Rightarrow 3x - 5 > 1\):
Partons de l'hypothèse: \(3x - 5 > 1\) devient \(3x > 6\) puis \(x > 2\), ce qui est exact.
Comparer \(x^2 + 4x\) et \(2x^2 + 6x\):
Pour \(x \leq 0\), on peut factoriser: \((-x)(x + 4) \leq 0\) et observer que la première est toujours inférieure à la seconde.
Pour les inégalités quadratiques \(x^2 - 5x + 6 > 0\):
On factorise et trouve les racines \(x = 3\) et \(x = 2\). L'inégalité est vraie pour \(x < 2\) et \(x > 3\).
Pour \(|x - 4| < 3\):
On résout \(4 - 3 < x < 4 + 3\) d'où \(1 < x < 7\).
Démontrer \(a^2 + b^2 \geq 2ab\):
on utilise \(a = 2\) et \(b = 3\) donc \(4 + 9 \geq 12\) ce qui est vrai.
Pour \(x^2 - 4x + 4 \leq 0\):
On observe que \((x-2)^2 \leq 0\) ce qui est vrai uniquement pour \(x = 2\).

Les inégalités sont des comparaisons entre deux expressions.
Les valeurs absolues doivent être gérées avec attention.
Les inégalités quadratiques peuvent nécessiter des tests de signe.
L'intervalle de solutions doit être vérifié.
La manipulation de l'inégalité change selon le signe du coefficient.
S'assurer de l'orientation de l'inégalité est crucial lors de la multiplication par des variables.
Les inégalités peuvent avoir plusieurs intervalles de solutions.
Il est possible d'additionner ou soustraire la même valeur des deux côtés d'une inégalité.
Les racines d'une inégalité quadratique aident à définir l'intervalle de solutions.
Utiliser une méthode graphique peut faciliter la compréhension des solutions.

Inégalité : Une relation qui compare deux expressions avec les symboles <, >, ≤, ou ≥.
Valeur absolue : La distance d'un nombre à zéro sur une ligne numérique, notée \(|x|\).
Inégalité quadratique : Un type d'inégalité où l'une des expressions est un polynôme du second degré.
Intervalle : La plage de valeurs qui satisfait une condition donnée.
Racines : Les valeurs de \(x\) pour lesquelles une équation est égale à zéro.