Exercices corrigés avancés sur les équivalences d'inégalités
Affrontez des exercices corrigés avancés sur les équivalences d'inégalités pour tester et améliorer vos compétences, destiné aux élèves du lycée.
Exercices Corrigés Avancés sur les Équivalences d'Inégalités
Voici une série d'exercices sur les équivalences d'inégalités, accompagnés de leurs solutions détaillées. Travaillez ces questions et vérifiez vos réponses avec les explications fournies.>6;>;"/>- Question 1 : Résoudre l'inéquation \(2x - 3 < 5\) et donner l'ensemble des solutions.
- Question 2 : Montrer que si \(a > b\) et \(c > 0\), alors \(ac > bc\).
- Question 3 : Soit \(x^2 - 4x + 3 \leq 0\). Résoudre cette inéquation.
- Question 4 : Montrer que l'inégalité \((x - 1)^2 \geq 0\) est toujours vraie.
Règles et Méthodes des Équivalences d'Inégalités
- Pour manipuler les inégalités : si on ajoute ou soustrait un nombre des deux côtés, l'inégalité reste vraie.
- Multiplier ou diviser par un nombre positif préserve l'inégalité.
- Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse l'inégalité.
Indications pour Résoudre les Inégalités
- Isoler la variable sur un côté de l'inégalité.
- Utiliser le tableau de signes pour les inéquations du second degré.
- Vérifier les bornes des solutions.
Corrigés des Exercice
Correction de la Question 1
On commence par résoudre \(2x - 3 < 5\).
Ajoutons 3 des deux côtés :
$$2x < 8$$
Nous divisons ensuite par 2 :
$$x < 4$$
Les solutions sont donc : \( ]-\infty, 4[\).
Correction de la Question 2
Nous avons \(a > b\) et \(c > 0\). Multiplions les deux côtés par \(c\) :
$$ac > bc$$
On conclut donc que \(ac > bc\).
Correction de la Question 3
Pour résoudre \(x^2 - 4x + 3 \leq 0\), nous devons d'abord factoriser :
$$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \leq 0$$
Nous établissons un tableau de signes :
$$\text{Signe de } (x - 1)(x - 3)$$
x < 1 | 1 < x < 3 | x > 3 - | + | +
Les solutions sont donc : \( [1, 3] \).
Correction de la Question 4
Pour montrer que \((x - 1)^2 \geq 0\), remarquons que le carré d'un nombre est toujours positif :
$$\forall x, (x - 1)^2 \geq 0$$
C'est toujours vrai car \((x-1)^2 = 0\) lorsque \(x = 1\) et est positif ailleurs.
Points Clés à Retenir
- Les inéquations linéaires peuvent être résolues par des manipulations simples.
- Les inéquations quadratiques se gèrent souvent à l'aide de tableaux de signes.
- Multiplication par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
- Il est crucial de vérifier les solutions pour les inégalités du second degré.
- Les inégalités sont des expressions qui peuvent être strictes ou non strictes.
- Utiliser des bornes est essentiel pour résoudre des inégalités.
- Les solutions d'inégalités peuvent être décrites sous forme d'intervalles.
- L'interprétation graphique peut aider à comprendre les solutions.
- Le concept d'équivalence d'inégalités est fondamental pour la résolution d'équations complexes.
- Pratiquer différents types d'inégalités renforce la compréhension générale.
Définitions Utiles
- Inégalité : Relation mathématique impliquant \(<, >, \leq, \geq\).
- Intervalle : Ensemble des nombres réels compris entre deux bornes.
- Tableau de signes : Outil graphique pour étudier le signe d'une fonction sur des intervalles.
- Équivalence : Deux expressions sont équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions.
- Inégalité stricte : De type \(<\) ou \(>\).
- Inégalité non stricte : De type \(\leq\) ou \(\geq\).
