Comprendre les équivalences d'inégalités exercices pratiques

Boostez votre compréhension des équivalences d'inégalités avec ces exercices pratiques corrigés, conçus pour les collégiens et lycéens.

Comprendre les équivalences d'inégalités : Exercices Pratiques

Pour mieux comprendre les équivalences d'inégalités, nous allons traiter un ensemble de questions pratiques. Les intérêts de cet exercice sont d’approfondir la manière dont les inégalités peuvent changer selon les manipulations effectuées.

Règles sur les équivalences d'inégalités

Si $a < b$, alors $a + c < b + c$, pour tout $c$.
Si $a < b$, alors $ac < bc$, si $c > 0$.
Si $a < b$, alors $ac > bc$, si $c < 0$.
On peut multiplier ou diviser les deux membres par une expression positive sans changer le sens de l’inégalité.
On doit inverser le sens de l’inégalité lorsqu’on multiplie ou divise par une expression négative.

Indications pour la résolution

Identifiez les termes de l'inégalité.
Appliquez les règles des équivalences de manière systématique.
Utilisez des substitutions pour simplifier les termes compliqués.
Visualisez les inégalités sur une droite numérique.
Faites attention aux signes lors de la multiplication/division par des valeurs négatives.

graph TD; A[Identifiez les termes] --> B[Appliquez les règles]; B --> C[Utilisez des substitutions]; C --> D[Visualisez sur droite numérique]; D --> E[Faites attention aux signes];

Corrigés des Questions

Considérez l'inégalité $3 - x < 5$. Déterminez la solution.

Pour résoudre :
Déplacez 3 de l'autre côté: $$-x < 5 - 3$$
Ce qui donne: $$-x < 2$$
Ensuite, multipliez par -1 (n'oubliez pas d'inverser l'inégalité):
$$x > -2$$.

Pour l'inégalité $2x + 3 \geq 7$, que pouvez-vous dire ?

Déplacez 3 :
$$2x \geq 7 - 3$$
Il en ressort : $$2x \geq 4$$.
Divisez par 2 :
$$x \geq 2$$.

Commentez l'impact de la multiplication par -1 dans l'inégalité $-2x > 8$.

Divisez par -2 ne doit pas être oublié, car cela inversera le signe :
$$x < -4$$.

Évaluez $x - 4 < 2x + 3$.

Isolons x :
$$-4 < x + 3$$
$$-7 < x$$
OU $x > -7$.

Pour l'inégalité $x^2 - 4 < 0$, trouvez les solutions.

Facteur :
$$(x-2)(x+2) < 0$$
Les solutions sont: x entre $-2$ et $2$ : $$-2 < x < 2$$.

Résoudre l'inégalité $3x + 1 \leq -2 + 4x$.

Déplacement :
$$-x \leq -3$$
En multipliant par -1,
$$x \geq 3$$.

Résoudre et dessiner $x + 2 < 0$.

$$x < -2$$. Pour dessiner, le point -2 est ouvert, indiquant que la solution est tous les nombres réels inférieurs à -2.

Concluez sur l'inégalité $x^2 + 5x + 4 \leq 0$.

Facteur :
$$(x+1)(x+4) \leq 0$$
Ce qui donne $$x \in [-4, -1]$$.

Points Clés à Retenir

Les inégalités changent de sens en multipliant/divisant par des nombres négatifs.
Ajoutez ou soustrayez des nombres des deux côtés de l'inégalité sans changer le sens.
Les inégalités peuvent être représentées graphiquement sur une droite numérique.
Faites attention aux solutions infinies lorsque l'inégalité est un intervalle.
Les solutions peuvent être vérifiées en substituant des valeurs dans l'inégalité initiale.
Parfois, une substitution peut simplifier la résolution.
La division par zéro est indéfinie et doit être prise en compte.
Les équations quadratiques peuvent être plus complexes ; recherchez les racines.
Une inégalité peut avoir un ensemble de solutions vide dans certains cas.
Restez organisés lors de l’écriture des étapes de chaque question.

Définitions Importantes

Équivalence: Deux inégalités qui présentent le même ensemble de solutions.
Inégalité: Une relation entre deux expressions indiquant qu'une est supérieure ou inférieure à l'autre.
Intervalle: Un ensemble de nombres entre deux valeurs, pouvant être ouvert ou fermé.
Facteurs: Termes qui multiplient pour créer un produit quadratique.
Solutions: Les valeurs qui satisfont l'inégalité.

Comprendre les équivalences d'inégalités exercices pratiques