Lycéens maîtrisez les équivalences d'inégalités avec exercices corrigés

Dominez le sujet des équivalences d'inégalités avec ces exercices corrigés conçus pour renforcer les compétences mathématiques des lycéens.

Exercices sur les équivalences d'inégalités

Dans cet exercice, nous allons explorer quelques questions sur les équivalences d'inégalités. Veuillez résoudre les questions suivantes :

1. Résoudre l'inégalité suivante : \(3x - 5 < 4\).
2. Montrer que si \(x < 2\), alors \(2x + 3 < 7\).
3. Résoudre le système d'inégalités : \(\begin{cases} 2x + 1 > 5 \\ x - 3 \leq 0 \end{cases}\).
4. Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(x^2 - 4x < 0\).
5. Tracer la fonction \(f(x) = x^2 - 4x\) et indiquer les intervalles où \(f(x) < 0\).

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Si on additionne ou soustrait la même quantité des deux membres d'une inégalité, l'inégalité reste la même.
Si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre positif, l'inégalité reste la même.
Si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, l'inégalité s'inverse.
Pour résoudre une inégalité, il faut isoler la variable.
Utiliser les propriétés de la comparaison pour établir des équivalences.

1. Pour l'inégalité \(3x - 5 < 4\), additionnons 5 aux deux côtés : \(3x < 9\). Ensuite, divisons par 3 : \(x < 3\).
2. Pour \(x < 2\), calculons \(2x + 3\) : \(2x + 3 < 2 \cdot 2 + 3 = 7\), donc cela est vrai.
3. Résolvons le système :\(\begin{cases} 2x + 1 > 5 \end{cases} \implies 2x > 4 \implies x > 2\) et \(\begin{cases} x - 3 \leq 0 \end{cases} \implies x \leq 3\).Alors, \(2 < x \leq 3\).
4. Pour \(x^2 - 4x < 0\), factorisons : \(x(x - 4) < 0\). Les solutions se trouvent entre les racines : \(0 < x < 4\).
5. Pour tracer \(f(x) = x^2 - 4x\), définissons les points critiques : \(x = 0\) et \(x = 4\) sont les racines. La parabole est ouverte vers le haut, donc elle est en dessous de l'axe des abscisses lorsque \(0 < x < 4\). Voici le graphique de la fonction :

Une inégalité peut toujours être résolue en isolant la variable.
Les multiplications par des nombres négatifs inversent l'inégalité.
Les inégalités peuvent être représentées graphiquement.
Il est crucial de vérifier les solutions par substitution.
Utiliser la méthode du tableau de signes pour les polynômes.
Rappeler les propriétés des nombres réels lors de la résolution.
Les inégalités peuvent avoir une infinité de solutions.
Le test de valeurs permet de confirmer les intervalles.
Les systèmes d'inégalités s'étudient en considérant chaque inégalité séparément.
Il est utile de pratiquer avec de nombreux exercices variés.

Inégalité : Relation qui OPPOSE deux expressions.
Solution : Valeur(s) de la variable qui satisfait l'inégalité.
Intervalle : Ensemble de valeurs comprises entre deux bornes.
Tableau de signes : Outil graphique pour étudier le signe d'une fonction sur des intervalles.
Facteur : Expression qui multiplie une autre pour former une équation.