Exercices corrigés simples sur les inégalités à comprendre
Découvrez des exercices corrigés simples pour maîtriser la notion d'inégalités. Parfaits pour les élèves de collège et lycée qui souhaitent progresser en mathématiques.
Exercices sur les Inégalités : Compréhension et Application
Énoncé : Dans cet exercice, nous allons explorer les inégalités à travers différents problèmes.Voici les questions :- Résoudre l'inégalité suivante : \(2x - 3 < 7\).
- Déterminer la solution de l'inégalité \(x^2 - 4x \geq 0\).
- Résoudre le système d'inégalités : \(\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 2x - 3 \leq 5 \end{cases}\).
- Graphiquement, comment représenter l'inégalité \(x - 1 < 3\) sur une droite numérique ?
- Comparer les valeurs absolues \( |x - 3| > 5\) et résoudre cette inégalité.
Règles Fondamentales des Inégalités
- Si \(a < b\), alors \(a + c < b + c\) pour tout \(c\).
- Si \(a < b\) et \(c > 0\), alors \(ac < bc\).
- Si \(a < b\) et \(c < 0\), alors \(ac > bc\).
- Les inégalités peuvent avoir plusieurs solutions. On les présente souvent sous forme d'intervalles.
- Utiliser des graphiques peut grandement aider à visualiser les solutions.
Indications Pour Résoudre les Inégalités
- Commencer par isoler la variable sur un côté de l'inégalité.
- Analyser le signe pour déterminer les valeurs de la variable qui satisfont l'inégalité.
- Utiliser la forme factorisée pour résoudre les inégalités quadratiques.
- Pour les intervalles, utiliser des chiffres test pour vérifier les solutions.
- Représenter graphiquement aide à mieux comprendre les solutions possibles.
Corrigés Détailés des Exercices
- Pour résoudre l'inégalité \(2x - 3 < 7\) :
\[2x - 3 < 7\]
Ajoutez 3 des deux côtés :\[2x < 10\]
Divisez par 2 :\[x < 5\]
La solution est \(x < 5\). - Pour l'inégalité \(x^2 - 4x \geq 0\) :
\[x^2 - 4x \geq 0 \\x(x - 4) \geq 0\]
Les solutions sont \(x \leq 0\) ou \(x \geq 4\). - Pour la system d'inégalités :\(\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 2x - 3 \leq 5 \end{cases}\)Résolvons chaque inégalité :
Hello
Pour \(x + 2 > 0\), \(x > -2\).Pour \(2x - 3 \leq 5\), \(2x \leq 8\), donc \(x \leq 4\).La solution combinée est \(-2 < x \leq 4\). - Pour représenter graphiquement \(x - 1 < 3\) :
\[x < 4\]
Utilisez une droite numérique et tracez un intervalle à gauche de 4. - Pour \( |x - 3| > 5 \):Il y a deux cas :1. \(x - 3 > 5 \Rightarrow x > 8\)2. \(x - 3 < -5 \Rightarrow x < -2\)La solution est \(x < -2\) ou \(x > 8\).
Points Clés à Retenir
- Les inégalités sont des expressions qui ne sont pas égales.
- Les méthodes de résolution peuvent varier selon le type d'inégalité.
- Les graphiques aident énormément à visualiser les solutions.
- Il est crucial de vérifier les solutions trouvées.
- Les inégalités quadratiques nécessitent souvent la mise en facteur.
- Il peut y avoir des solutions infinies dans certains cas.
- Utilisez des chiffres tests pour confirmer les intervalles.
- Les systèmes d'inégalités peuvent être résolus séparément puis combinés.
- Les valeurs absolues introduisent des cas distincts dans la résolution.
- Comprendre les règles de base des inégalités est essentiel pour réussir.
Définitions et Termes Utilisés
- Inégalité : une expression mathématique qui compare deux expressions.
- Intervalle : un ensemble de nombres compris entre deux bornes.
- Valeur absolue : la distance d'un nombre à zéro sur une droite numérique.
- Système d'inégalités : un ensemble d'inégalités à résoudre conjointement.
- Chiffre test : une valeur choisie pour vérifier l'appartenance à un intervalle.