Comprendre les inégalités exercices corrigés de base
Maîtrisez les concepts de base des inégalités avec nos exercices corrigés. Idéal pour renforcer vos compétences scolaires en mathématiques.
Comprendre les inégalités : Exercices corrigés de base
Dans cet exercice, nous allons explorer le concept des inégalités à travers plusieurs questions pratiques. Vous allez découvrir comment résoudre des inégalités simples et des inégalités avec des expressions algébriques. Voici les questions que nous allons aborder :- 1. Résoudre l'inégalité \( x + 5 > 12 \)
- 2. Trouver les solutions de l'inégalité \( 3x - 4 \leq 5 \)
- 3. Résoudre et interpréter l'inégalité \( 7 - 2x < 1 \)
- 4. Trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( x^2 - 4x \geq 0 \)
- 5. Résoudre l'inégalité \( \frac{x - 2}{x + 1} > 0 \)
- 6. Déterminer la solution de l'inégalité \( |x - 3| \leq 2 \)
Règles et méthodes des inégalités
- Règle 1 : Si vous ajoutez ou soustrayez un nombre des deux côtés d'une inégalité, l'inégalité reste la même.
- Règle 2 : Si vous multipliez ou divisez par un nombre positif, l'inégalité reste la même.
- Règle 3 : Si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, l'inégalité s'inverse.
- Règle 4 : Pour résoudre une inégalité, isolez la variable d'un côté.
Indications pour résoudre les inégalités
- Commencez par simplifier chaque expression si possible.
- Pour les inégalités quadratiques, factorisez l'expression si nécessaire.
- Utilisez un tableau de signes pour les inégalités rationnelles.
- Interprétez toujours le résultat dans le contexte du problème.
Corrections détaillées des questions
1. Résolvons \( x + 5 > 12 \):
\( x > 12 - 5 \)
\( x > 7 \).
Donc, la solution est \( x \in ]7, +\infty[ \).
2. Pour \( 3x - 4 \leq 5 \):
\( 3x \leq 5 + 4 \)
\( 3x \leq 9 \)
\( x \leq 3 \).
La solution est \( x \in ]-\infty, 3] \).
3. Pour l'inégalité \( 7 - 2x < 1 \):
\( -2x < 1 - 7 \)
\( -2x < -6 \)
Divisons par -2 (inversant l'inégalité) :
\( x > 3 \).
La solution est \( x \in ]3, +\infty[ \).
4. Résolvons \( x^2 - 4x \geq 0 \):
Factorisons : \( x(x - 4) \geq 0 \).
On trouve les racines : \( x = 0 \) et \( x = 4 \).
Le tableau de signes montre que \( x \in ]-\infty, 0] \cup [4, +\infty[ \).
5. Pour \( \frac{x - 2}{x + 1} > 0 \):
Identifions les points critiques : \( x = 2 \) et \( x = -1 \).
On utilise un tableau de signes pour déterminer que \( x \in ]-1, 2[ \).
La solution est également \( x \in ]2, +\infty[ \).
6. Pour \( |x - 3| \leq 2 \):
Cela donne deux inégalités : \( -2 \leq x - 3 \leq 2 \).
Résolvons-les séparément :
\( x \geq 1 \) et \( x \leq 5 \).
La solution est \( x \in [1, 5] \).
Points clés à retenir sur les inégalités
- Les inégalités sont des relations entre des nombres qui indiquent une différence d'ordre.
- Une inégalité peut toujours être manipulée comme une équation, tant que l'on respecte les règles de multiplication/division par des nombres négatifs.
- Il est crucial de comprendre l'impact de chaque opération sur le sens de l'inégalité.
- Les solutions d'inégalités peuvent se représenter graphiquement sur une droite réelle.
- Un tableau de signes est très utile pour interpréter les solutions des inégalités.
- Les inégalités peuvent impliquer des expressions algébriques ou des valeurs absolues.
- Révéler les points de rupture (ou racines) est essentiel pour les inégalités polynomiales.
- Les inégalités rationnelles nécessitent souvent une étude de signes sur des intervalles déterminés.
- Il est indispensable de vérifier les solutions trouvées dans le contexte original du problème.
- Les graphes aident à visualiser les solutions des inégalités.
Définitions des inégalités et des termes utilisés
- Inégalité : Une relation entre deux expressions qui exprime une différence d'ordre.
- Variable : Une lettre représentant un nombre dans une équation ou une inégalité.
- Solution d'inégalité : Un ensemble de valeurs qui satisfont l'inégalité.
- Tableau de signes : Un outil pour analyser la variation du signe d'une fonction sur des intervalles.
- Valeur absolue : La distance d'un nombre à zéro sur une droite numérique, toujours positive.
- Facteur : Une des expressions qui peuvent être multipliées ensemble pour obtenir un produit.
- Racine : Les valeurs pour lesquelles une expression polynomiale est égale à zéro.
- Expression algébrique : Une combinaison de nombres, variables et symboles liés par des opérations.
- Nombre critique : Une valeur de la variable qui rend une expression zéro ou indéfinie.
- Intervalle : Un ensemble de nombres compris entre deux bornes, inclusives ou exclusives.
