Résolution d'inégalités complexes avec extensions pour le lycée
Résolvez des inégalités complexes grâce à ces exercices complets et corrigés, idéals pour les étudiants en mathématiques avancées.
Résolution d'inégalités complexes au lycée
Considérons les inégalités suivantes impliquant des polynômes. Nous allons résoudre les inégalités et analyser les résultats. Les questions suivantes vous aideront à comprendre les concepts de base des inégalités et leur solution.Règles et méthodes pour résoudre les inégalités
- Pour résoudre une inégalité de la forme \( f(x) > 0 \), il faut identifier les zéros de \( f(x) \).
- On utilise le tableau de signes pour déterminer les intervalles de validité de l'inégalité.
- On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans changer le sens de l'inégalité.
- Si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité.
- Une inégalité peut être résolue par substitution de \( x \) par une expression équivalente.
Indications pour résoudre les inégalités
Identifiez d'abord les zéros des polynômes. Ensuite, testez des valeurs dans les intervalles définis par ces zéros pour voir où l'inégalité est vraie.Solutions des questions
Question 1: Résoudre l'inégalité \( x^2 - 5x + 6 < 0 \).
Pour résoudre, nous identifions d'abord les zéros de \( x^2 - 5x + 6 \).
On résout \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
Les solutions sont \( x = 2 \) et \( x = 3 \).
Nous plaçons ces points sur une ligne :
- Testons l'intervalle \( (-\infty, 2) \): choisisons \( x = 0 \) : \( 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0 \) → Pas de solution ici.
- Testons l'intervalle \( (2, 3) \): choisissons \( x = 2.5 \) : \( (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = -0.25 < 0 \) → Solution ici.
- Testons l'intervalle \( (3, \infty) \): choisissons \( x = 4 \) : \( 4^2 - 5(4) + 6 = 2 > 0 \) → Pas de solution ici.
Donc, la solution est \( (2, 3) \).
Question 2: Résoudre l'inégalité \( 2x^2 - 8x \geq 0 \).
On commence par résoudre \( 2x^2 - 8x = 0 \).
Les solutions sont \( x = 0 \) et \( x = 4 \).
- Testons \( (-\infty, 0) \): choisissons \( x = -1 \): \( 2(-1)^2 - 8(-1) = 10 \geq 0 \) → Ordre ici.
- Testons \( (0, 4) \): \( x = 2 \): \( 2(2)^2 - 8(2) = -8 < 0 \) → Pas de solution ici.
- Testons \( (4, \infty) \): \( x = 5 \): \( 2(5)^2 - 8(5) = 10 \geq 0 \) →Ordre ici.
La solution est \( (-\infty, 0] \cup [4, \infty) \).
Question 3: Résoudre l'inégalité \( x^3 - 4x \leq 0 \).
On résout \( x^3 - 4x = 0 \), soit \( x(x^2 - 4) = 0 \).
Les solutions sont \( x = 0, 2, -2 \).
Placer ces points sur la ligne : - Testons \( (-\infty, -2) \): \( x = -3 \): \( (-3)^3 - 4(-3) = -15 + 12 = -3 < 0 \) → Ordre ici.
- Testons \( (-2, 0) \): \( x = -1 \): \( (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 \) → Pas ici.
- Testons \( (0, 2) \): \( x = 1 \): \( 1 - 4 < 0 \) → Ordre ici.
- Testons \( (2, \infty) \): \( x = 3 \): \( 27 - 12 > 0 \) → Pas ici.
La solution est \( (-\infty, -2] \cup [0, 2] \).
Question 4: Résoudre l'inégalité \( \frac{2x-4}{x^2 - 1} < 0 \).
Les points critiques sont à \( x = 2 \) (numérateur) et \( x = \pm 1 \) (dénominateur).
- Testons \( (-\infty, -1) \): Choisissons \( x = -2 \): \( \frac{-8}{3} < 0 \) → Ordre ici.
- Testons \( (-1, 1) \): Choisissons \( x = 0 \): \( \frac{-4}{-1} > 0\) → Pas ici.
- Testons \( (1, 2) \): Choisissons \( x = 1.5 \): \( \frac{1}{2} > 0 \) → Pas ici.
- Testons \( (2, \infty) \): Choisissons \( x = 3 \): \( \frac{2}{8} > 0 \) → Pas ici.
La solution est \( (-\infty, -1) \) et \( (1, 2) \).
Question 5: Résoudre l'inégalité \( x^2 + 2x - 8 \geq 0 \).
Nous résolvons \( x^2 + 2x - 8 = 0 \).
Les racines sont \( x = 2 \) et \( x = -4 \).
- Testons \( (-\infty, -4) \): Choisissons \( x = -5 \): \( 25 - 10 > 0 \) → Ok ici.
- Testons \( (-4, 2) \): Choisissons \( x = 0 \): \( -8 < 0\) → Pas ici.
- Testons \( (2, \infty) \): Choisissons \( x = 3 \): \( 9 + 6 > 0 \) → Ok ici.
Donc, la solution est \( (-\infty, -4] \cup [2, \infty) \).
Points clés à retenir sur les inégalités complexes
- Toujours déterminer les limites de l'inégalité.
- Utiliser des tests de signes pour chaque intervalle.
- La direction de l'inégalité change avec les nombres négatifs.
- Le tableau de signes aide à comprendre les inégalités.
- Identifiez les valeurs critiques pour diviser les intervalles.
- Graphier les fonctions aide à visualiser les solutions.
- Les trous dans la fonction peuvent amener à des solutions excluantes.
- Pratiquer avec divers types d'inégalités renforce les compétences.
- Vérifier les solutions dans l'inégalité initiale.
- Revoir les méthodes algébriques pour résoudre des cas complexes.
Définitions des termes en inégalités complexes
- Inégalité: Une expression qui pose une relation entre deux quantités à l'aide du signe >, <, ≥ ou ≤.
- Tableau de signes: Outil pour déterminer le signe d'une expression sur différents intervalles.
- Valeur critique: Les points où une fonction est égale à zéro ou indéfinie.
- Polynôme: Une expression algébrique composée de termes avec des coefficients et des puissances entières.
- Intervalle: Ensemble de nombres qui se trouvent entre deux valeurs.