Inégalité de Minkowski exercices corrigés intermédiaires
Renforcez votre compréhension des inégalités avec nos exercices corrigés intermédiaires sur l'inégalité de Minkowski. Idéal pour les élèves de niveau lycée.
Exercices Corrigés sur l'Inégalité de Minkowski
Dans cet exercice, nous allons explorer l'inégalité de Minkowski à travers une série de questions. L'inégalité de Minkowski est une généralisation de l'inégalité triangulaire pour les espaces de normés. Elle peut s'écrire comme suit :$$||\mathbf{x} + \mathbf{y}|| \leq ||\mathbf{x}|| + ||\mathbf{y}||$$où $||\cdot||$ représente la norme d'un vecteur.Règles et Formules sur l'Inégalité de Minkowski
- Inégalité de Minkowski : $$||\mathbf{x} + \mathbf{y}||_p \leq ||\mathbf{x}||_p + ||\mathbf{y}||_p$$
- Norme $p$ : $$||\mathbf{x}||_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$$
- Pour $p = 2$, cela représente la distance euclidienne.
- Propriétés des normes :
- Non-négativité.
- Homogénéité.
- Inégalité triangulaire.
Indications pour Résoudre les Exercices
- Identifier les vecteurs à comparer.
- Calculer la norme de chaque vecteur séparément.
- Ajouter les normes et comparer avec la norme de la somme des vecteurs.
- Utiliser des exemples numériques pour illustrer l'inégalité.
- Vérifier les conditions de l'inégalité.
Solutions Détailées aux Questions
Question 1 : Soit $\mathbf{x} = (1, 2)$ et $\mathbf{y} = (3, 4)$. Calculez $||\mathbf{x} + \mathbf{y}||_2$.
Solution : $$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)$$
$$||\mathbf{x} + \mathbf{y}||_2 = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.211$$
Question 2 : Calculez $||\mathbf{x}||_2$ et $||\mathbf{y}||_2$ séparément.
$$||\mathbf{x}||_2 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.236$$
$$||\mathbf{y}||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
Donc, $||\mathbf{x}||_2 + ||\mathbf{y}||_2 \approx 2.236 + 5 = 7.236$.
Nous avons $||\mathbf{x} + \mathbf{y}||_2 \approx 7.211 \leq 7.236$, ce qui vérifie l'inégalité.
À réaliser avec les autres questions de manière similaire. Voici un exemple :
Question 3 : Soit $\mathbf{a} = (1, -1)$ et $\mathbf{b} = (2, 5)$. Calculez $||\mathbf{a} + \mathbf{b}||_1$.
Solution : $$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (1 + 2, -1 + 5) = (3, 4)$$
$$||\mathbf{a} + \mathbf{b}||_1 = |3| + |4| = 3 + 4 = 7$$
Maintenant, on calcule $||\mathbf{a}||_1$ et $||\mathbf{b}||_1$ :
$$||\mathbf{a}||_1 = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2$$
$$||\mathbf{b}||_1 = |2| + |5| = 2 + 5 = 7$$
Donc, $||\mathbf{a}||_1 + ||\mathbf{b}||_1 = 2 + 7 = 9$. Comme $7 \leq 9$, l'inégalité de Minkowski est vérifiée.
Points Clés à Retenir
- Comprendre la définition des normes.
- Savoir utiliser l'inégalité de Minkowski dans des cas pratiques.
- Être capable d'appliquer les propriétés des normes.
- Ancrer l'idée de comparaison entre vecteurs dans différents espaces.
- Utiliser des exemples graphiques pour illustrer les concepts.
Définitions des Termes Utilisés
- Norme : Mesure de la taille d'un vecteur dans un espace normé.
- Inégalité triangulaire : Principe fondamental dans les espaces métriques.
- Espaces de normés : Espaces où une fonction de norme est définie.
- Vecteur : Un objet mathématique ayant une magnitude et une direction.