Cas pratiques de l'inégalité de Minkowski avec corrigés détaillés
Explorez des cas pratiques de l'inégalité de Minkowski avec des corrigés détaillés pour une compréhension approfondie. Convient aux élèves du collège et lycée.
Applications Pratiques de l'Inégalité de Minkowski
Cet exercice porte sur l'inégalité de Minkowski et propose des cas pratiques pour en illustrer l'utilisation. Répondez aux questions suivantes :- Question 1 : Vérifiez l'inégalité de Minkowski pour les vecteurs $\mathbf{a} = (1, 2)$ et $\mathbf{b} = (3, 4)$.
- Question 2 : Calculez la norme $||\mathbf{a} + \mathbf{b}||$ et vérifiez si elle respecte l'inégalité.
- Question 3 : Donnez un exemple avec des fonctions et vérifiez l'inégalité pour $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur l'intervalle $[0, 1]$.
- Question 4 : Trouvez des valeurs pour $p=1$ et $p=2$ et comparez les résultats.
Règles et Méthodes Liées à l'Inégalité de Minkowski
- Inégalité de Minkowski : $||\mathbf{u} + \mathbf{v}||_p \leq ||\mathbf{u}||_p + ||\mathbf{v}||_p$.
- Norme $||\cdot||_p$ définie par $||\mathbf{u}||_p = \left( \sum |u_i|^p \right)^{1/p}$.
- Application pour deux fonctions : $||f+g||_p \leq ||f||_p + ||g||_p$.
Indications pour Résoudre les Questions
- Pour vérifier l'inégalité, calculez d'abord les normes des vecteurs ou des fonctions.
- Utilisez les définitions des normes pour le cas $p=1$ et $p=2$.
- Considérez l'addition des vecteurs avant de calculer la norme totale.
Solutions Détaillées des Questions
Question 1 : Vérifions l'inégalité de Minkowski. Nous avons $\mathbf{a} = (1, 2)$ et $\mathbf{b} = (3, 4)$. Nous calculons : \[||\mathbf{a}||_2 = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\] et \[||\mathbf{b}||_2 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.\]Maintenant, calculons $||\mathbf{a}+\mathbf{b}||_2 = ||(1+3, 2+4)||_2 = ||(4, 6)||_2 = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} \approx 7.21.$ Regardons l'inégalité : \[||\mathbf{a} + \mathbf{b}||_2 \leq ||\mathbf{a}||_2 + ||\mathbf{b}||_2 \Rightarrow 7.21 \leq \sqrt{5} + 5 \approx 7.236.\]Cela est vérifié.
Question 2 : Avec les mêmes vecteurs, calculons:\[||\mathbf{a} + \mathbf{b}||_1 = |1 + 3| + |2 + 4| = 4 + 6 = 10,\] et \[||\mathbf{a}||_1 + ||\mathbf{b}||_1 = (1 + 2) + (3 + 4) = 3 + 7 = 10.\]Les deux résultats sont égaux, donc $\mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$.
Question 3 : Pour les fonctions, vérifiez l'inégalité pour $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur $[0, 1]$. Nous avons :\[||f||_2 = \left( \int_0^1 (x^2)^2 \,dx \right)^{1/2} = \left( \int_0^1 x^4 \,dx \right)^{1/2} = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5} \Rightarrow ||f||_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}.\]Pour $g(x)$ :\[||g||_2 = \left( \int_0^1 x^2 \,dx \right)^{1/2} = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \Rightarrow ||g||_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}.\]Calculons $||f + g||_2$ :\[||f + g||_2 = \left( \int_0^1 (x^2 + x)^2 \,dx \right)^{1/2} = \left( \int_0^1 (x^4 + 2x^3 + x^2) \,dx \right)^{1/2} = \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \approx 0.533 \Rightarrow ||f + g||_2 \approx 0.730.\]En appliquant l'inégalité de Minkowski, nous vérifions que :\[||f + g||_2 \leq ||f||_2 + ||g||_2.\]
Question 4 : Pour $p=1, ||\mathbf{a}||_1 = 3, ||\mathbf{b}||_1 = 7.$ Quand $p=2, ||\mathbf{a}||_2 = \sqrt{5}, ||\mathbf{b}||_2 = 5.$ Comparez ces résultats avec l'inégalité de Minkowski pour $p=1$ et $p=2$.Ainsi $||\mathbf{a} + \mathbf{b}||_p \leq ||\mathbf{a}||_p + ||\mathbf{b}||_p$ est vérifié.
Points Clés à Retenir
- L'inégalité de Minkowski s'applique tant aux vecteurs qu'aux fonctions.
- Il est essentiel de bien comprendre les normes en contexte.
- Les méthodes graphiques peuvent aider à visualiser les résultats.
- Comparer les résultats pour des valeurs différentes de $p$ est instructif.
- Utilisez des intégrales pour les fonctions continues.
- Vérifiez chacune des étapes de calculs pour réduire les erreurs.
- Les normes sont des outils fondamentaux en analyse.
- Les points de convergence peuvent être identifiés via des graphiques.
- Avoir une intuition des différents espaces de norme aide aux calculs.
- Les applications pratiques renforcent la compréhension théorique.
Définitions et Terminologie
- Inégalité de Minkowski : Un principe fondamental reliant la somme des normes à la norme des sommes.
- Norme : Fonction qui attribue à chaque vecteur une valeur non négative représentant sa « longueur ».
- Fonctions équivalentes : Deux fonctions qui se comparent par leur norme.
- Intégrale : Outil pour évaluer des aires sous des courbes, souvent utilisé pour le calcul des normes des fonctions.
- Vecteur : En mathématiques, un objet qui a une magnitude et une direction.
- Espaces de norme : Espaces vectoriels équipés d'une norme.