Exercices de base sur les inégalités dans les suites
Commencez avec des exercices de base sur les inégalités dans les suites. Idéal pour maîtriser les fondamentaux avant de passer à des sujets plus complexes.
Exercices de base sur les inégalités dans les suites
Un étudiant de seconde s'intéresse aux suites et aux inégalités. Voici 5 questions qui l'aideront à comprendre ce sujet essentiel.1. Soit la suite définie par \( u_n = 2n + 1 \). Déterminez les valeurs de \( n \) pour lesquelles \( u_n < 10 \).2. Pour la suite \( v_n = n^2 \), montrez que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( v_n \geq 0 \).3. Vérifiez si la suite \( w_n = 3n - 4 \) est croissante pour \( n \geq 2 \).4. Soit la suite \( x_n = \frac{1}{n+1} \). Montrez que \( x_n < \frac{1}{2} \) pour \( n \geq 1 \).5. Établissez que la suite \( y_n = n + 5 \) est minorée par 5.2TV"/>Règles et méthodes des inégalités dans les suites
- Définir la suite pour savoir à quoi elle correspond.
- Pour une inégalité \( u_n < k \), résoudre \( u_n - k < 0 \).
- Une suite est croissante si \( u_{n+1} > u_n \) pour tout \( n \).
- Pour prouver qu'une suite est minorée, montrer qu'il existe un réel \( m \) tel que \( u_n \geq m \).
- Utiliser des représentations graphiques pour visualiser les suites.
Indications pour résoudre les exercices
- Commencez par écrire l'expression de chaque suite.
- Pensez à isoler \( n \) dans les équations.
- Pour la croissance, calculez \( u_{n+1} - u_n \).
- Pour la minorité, comparez chaque terme à la valeur limite.
- Utilisez des valeurs numériques pour tester vos résultats.
Correction détaillée des exercices
Q1: Soit la suite définie par \( u_n = 2n + 1 \). Déterminez les valeurs de \( n \) pour lesquelles \( u_n < 10 \).
On a \( 2n + 1 < 10 \). En isolant \( n \), on trouve :
\( 2n < 9 \Rightarrow n < 4.5 \)
Donc, \( n \) doit être un entier tel que \( n \leq 4 \). Les valeurs possibles sont \( 0, 1, 2, 3, 4 \).
Q2: Pour la suite \( v_n = n^2 \), montrez que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( v_n \geq 0 \).
On remarque que \( n^2 \) est le carré d'un entier, donc par définition \( n^2 \geq 0 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Q3: Vérifiez si la suite \( w_n = 3n - 4 \) est croissante pour \( n \geq 2 \).
Calculons \( w_{n+1} - w_n \) :
\( (3(n+1) - 4) - (3n - 4) = 3 > 0 \).
Donc, la suite est croissante pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
Q4: Soit la suite \( x_n = \frac{1}{n+1} \). Montrez que \( x_n < \frac{1}{2} \) pour \( n \geq 1 \).
On a \( \frac{1}{n+1} < \frac{1}{2} \), ce qui implique :
\( 2 < n+1 \Rightarrow n > 1 \).
Pour \( n \geq 1 \), cela est vrai.
Q5: Établissez que la suite \( y_n = n + 5 \) est minorée par 5.
Pour n'importe quel \( n \in \mathbb{N} \), on a :
\( n + 5 \geq 5 \) (puisque \( n \geq 0 \)). Donc, la suite est effectivement minorée par 5.
Points clés à retenir sur les inégalités dans les suites
- Les inégalités peuvent être résolues par substitution.
- Prouver qu'une suite est croissante nécessite l'analyse de la différence entre les termes.
- Les suites définies par des polynômes sont souvent plus faciles à analyser.
- Visualiser les suites aide à comprendre leur comportement.
- Les suites dont les termes sont des entiers non négatifs sont souvent minorées par 0.
- Utilisez des exemples concrets pour illustrer les concepts.
- Les différences successives donnent des informations cruciales sur la croissance.
- Les limites et les bornes inférieures sont fondamentales lors de l'étude des suites.
- Les suites convergentes ont des comportements prévisibles.
- Les inégalités sont souvent utilisées dans des démonstrations mathématiques plus larges.
Définitions des termes utilisés
- Suite : Une fonction dont le domaine est les entiers naturels.
- Inégalité : Une relation qui compare deux expressions.
- Suite croissante : \( u_{n+1} > u_n \) pour tout \( n \).
- Minorée : Une suite est minorée si elle n'est pas inférieure à un certain nombre.
- Terme d'une suite : La valeur d'une suite à un indice donné.