Problèmes intermédiaires sur les suites et inégalités

Avancez dans votre apprentissage des inégalités dans les suites avec cette série de problèmes intermédiaires, accompagnée de solutions détaillées.

Considérons une suite définie par la règle suivante : $$u_n = 2n + 3$$. Répondre aux questions suivantes :

Règles et méthodes sur les suites et inégalités

Soit une suite $(u_n)$. On dit qu'elle est monotone si $\forall n, \, u_n \leq u_{n+1}$ ou $\forall n, \, u_n \geq u_{n+1}$.
Une suite est majorée s'il existe un réel M tel que $\forall n, \, u_n \leq M$.
La limite d'une suite peut se déterminer par le calcul de $\lim_{n \to \infty} u_n$.
Les inégalités entre les termes d'une suite peuvent être évaluées par des manipulations algébriques.

Commencez par calculer quelques valeurs de $u_n$ pour vous familiariser avec la suite.
Pour montrer qu'une suite est monotone, calculez $u_{n+1} - u_n$.
Utilisez des méthodes algébriques pour démontrer les majorations.
Vérifiez les inégalités d'ordre entre les termes de la suite.

Calculons les premiers termes de la suite :
Pour $n=0$, $u_0 = 3$; Pour $n=1$, $u_1 = 5$; Pour $n=2$, $u_2 = 7$; Pour $n=3$, $u_3 = 9$; Les premiers termes sont donc : $u_0 = 3, u_1 = 5, u_2 = 7, u_3 = 9$.
Pour vérifier la monotonie, calculons $u_{n+1} - u_n$ :
$$u_{n+1} - u_n = (2(n+1) + 3) - (2n + 3) = 2 > 0$$ Donc, la suite est croissante.
Pour déterminer si la suite est majorée, observons :
La suite est de la forme $u_n = 2n + 3$, qui tend vers l'infini lorsque $n$ augmente, donc elle n'est pas majorée.
Pour établir une inégalité, examinons :
$$u_{n+1} = 2(n+1) + 3 = 2n + 2 + 3 = (2n + 3) + 2 = u_n + 2.$$ Ainsi, $u_{n+1} > u_n$.
La limite de la suite est :
$$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} (2n + 3) = \infty.$$
Pour la somme des premiers termes jusqu'à $n=10$ :
La somme $S_{10} = u_0 + u_1 + ... + u_{10} = 3 + 5 + 7 + ... + 23 = 3 + 5 + 7 + ... + 23 = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} + 3(n+1)$. Pour $n=10$, cela donne : $S_{10} = 2 \times 55 + 3 \times 11 = 110 + 33 = 143$.
Pour tracer le graphique, utilisez Chart.js pour représenter $u_n$ :

Suite : Une fonction définie sur les entiers qui associe à chaque entier un nombre réel.
Monotonie : Propriété d'une suite de ne pas diminuer (croissante) ou ne pas augmenter (décroissante).
Majorée : Une suite est dite majorée si ses termes ne dépassent pas un certain nombre réel.
Limite : Valeur que tend à approcher une suite lorsque n augmente indéfiniment.
Inégalité : Relation indiquant que deux valeurs ne sont pas égales.
Somme de termes : La somme des n premiers termes d'une suite, qui peut souvent être calculée par des formules spécifiques.
Terme d'une suite : Le résultat de la fonction pour un indice donné.
Suite arithmétique : Suite dont la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Suite géométrique : Suite dont le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
Graphe de la suite : Représentation graphique des éléments d'une suite en fonction de leur index.