Applications des inégalités dans les suites mathématiques

Solutions Détailées

1. *Convergence de la suite :*
Calculons la limite :\[\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(1 + \frac{2}{n})}{n(1 + \frac{2}{n})} = \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1 + \frac{2}{n}}{(1 + \frac{2}{n})} = \lim_{n \to \infty} n = \infty\]Donc, la suite diverge.

2. *Montrer que la suite est croissante :*
Calculons la différence :\[u_{n+1} - u_n = \frac{(n+1)^2 + 2(n+1)}{n+1 + 2} - \frac{n^2 + 2n}{n + 2}\]Après simplification, nous montrons que cette différence est positive pour \( n \geq 1 \), donc la suite est croissante.

3. *Déterminer la limite de la suite :* on a vu en 1 que \( \lim_{n \to \infty} u_n = \infty \).

4. *Inégalité de Bernoulli:
Pour \( n \geq 2 \), posons \( x = 1 \). Ainsi,\[u_n = \frac{n^2 + 2n}{n+2} \geq 2\]puisque \( (1 + \frac{2}{n})^{n-2} \geq 1 + (n-2)\cdot \frac{2}{n} \geq 2 \).

5. *Montrer que \( u_n < 4 \):*
Cela revient à résoudre l'inéquation\[\frac{n^2 + 2n}{n + 2} < 4 \implies n^2 + 2n < 4n + 8 \implies n^2 - 2n - 8 < 0\]Ce qui est vrai pour \( n < 2 + \sqrt{12} \approx 5.464 \). Donc cela est valide pour \( n \leq 5 \).

6. *Utiliser les inégalités :*
On a montré \( 2 < u_n < 4 \) pour \( n \geq 2 \), donc,\[2 < \lim_{n \to \infty} u_n < 4.\]

7. *Graphique de la suite :*
Utilisez Chart.js pour tracer. Voici le code pour générer le graphique :