Exercices simples sur les inégalités irrationnelles
Approfondissez vos connaissances avec ces exercices simples sur les inégalités irrationnelles, accompagnés de leurs solutions détaillées.
Exercices sur les Inégalités Irrationnelles
Dans cet exercice, nous allons explorer les inégalités irrationnelles. Répondez aux questions suivantes :- Question 1 : Résoudre l'inégalité \( \sqrt{x+3} < 5 \).
- Question 2 : Déterminer les valeurs de \( x \) telles que \( \sqrt{2x - 1} \geq 3 \).
- Question 3 : Montrer que pour tout \( x \geq 0 \), \( \sqrt{x} + \sqrt{2-x} \leq \sqrt{2} \).
- Question 4 : Résoudre l'inégalité \( 3 - \sqrt{2x + 7} \leq 0 \).
- Question 5 : Analyser l'inégalité \( \sqrt{x - 1} > x - 2 \) pour \( x \geq 1 \).
Règles et Méthodes pour Résoudre les Inégalités Irrationnelles
- Manipuler l'inégalité pour isoler la racine carrée.
- Élever au carré les deux membres de l'inégalité, en gardant à l'esprit que cela peut introduire des solutions extranes.
- Vérifier les valeurs extraites dans l'inégalité d'origine.
- Déterminer le domaine de définition des expressions.
- Utiliser des diagrammes pour visualiser les solutions.
Indications Pratiques
- Pour résoudre \( \sqrt{A} < B \), il est souvent utile de mettre \( B \) au carré.
- Vérifiez le signe de \( A \) lors de l'élévation au carré.
- Pour des inégalités comme \( \sqrt{A} \geq B \), isolez \( \sqrt{A} \) et élevez au carré ensuite.
- Les solutions doivent être vérifiées dans l'inégalité d'origine.
- Utilisez des études de cas pour les inégalités plus complexes.
Solutions Détailées aux Questions
Question 1 : Résoudre l'inégalité \( \sqrt{x+3} < 5 \).
Isolons la racine : \[\sqrt{x+3} < 5\]Élevons les deux membres au carré :\[x + 3 < 25\]D'où :\[x < 22\]On vérifie que \( x + 3 \geq 0 \) donc \( x \geq -3 \). La solution est donc \( -3 \leq x < 22 \).
Question 2 : Déterminer les valeurs de \( x \) telles que \( \sqrt{2x - 1} \geq 3 \).
Isolons la racine :\[\sqrt{2x - 1} \geq 3\]Élevons les deux membres :\[2x - 1 \geq 9 \]Alors,\[2x \geq 10 \implies x \geq 5\]Domaine de définition : \( 2x - 1 \geq 0 \implies x \geq 0.5 \).La solution finale est \( x \geq 5 \).
Question 3 : Montrer que \( \sqrt{x} + \sqrt{2-x} \leq \sqrt{2} \) pour \( x \in [0,2] \).
Soit \( f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{2-x} \). On peut montrer que \( f'(x) \leq 0 \) sur cet intervalle. Ainsi, \( f(x) \) atteint son maximum aux extrémités :\[f(0) = \sqrt{0} + \sqrt{2} = \sqrt{2}, \quad f(2) = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}.\]Ainsi, \( \sqrt{x} + \sqrt{2-x} \leq \sqrt{2} \).
Question 4 : Résoudre \( 3 - \sqrt{2x + 7} \leq 0 \).
Ramenons \( \sqrt{2x + 7} \):\[\sqrt{2x + 7} \geq 3\]Élevons les deux membres au carré :\[2x + 7 \geq 9 \implies 2x \geq 2 \implies x \geq 1\]Vérification du domaine : \( 2x + 7 \geq 0 \) pour \( x \geq -3.5 \). La solution est \( x \geq 1 \).
Question 5 : Analyser \( \sqrt{x - 1} > x - 2 \) pour \( x \geq 1 \).
Isolons la racine :\[\sqrt{x - 1} > x - 2\]Élevons les deux membres :\[x - 1 > (x - 2)^2\]Développons :\[x - 1 > x^2 - 4x + 4 \implies 0 > x^2 - 5x + 5\]On résout cette équation quadratique pour trouver les intervalles où elle est négative. Les solutions concernent les valeurs dans \( (1, 4) \).
P points Clés à Retenir
- Les inégalités irrationnelles nécessitent souvent d'être élevées au carré.
- Vérifiez toujours les solutions dans le contexte de l'égalité initiale.
- Le domaine de définition doit être considéré lors de la résolution.
- Les racines carrées sont toujours positives ou nulles.
- Les solutions peuvent être infinies ou délimitées.
- Le graphe des fonctions peut aider à visualiser les inégalités.
- Les solutions des inégalités doivent respecter les propriétés de continuité.
- Rendez-vous utile d'utiliser les diagrammes pour représenter des inégalités.
- Étudiez les cas de solutions pour des formes plus complexes.
- Utilisez des exemples pour clarifier des concepts abstraits.
Définitions Clés
- Inégalité Irrationnelle : C'est une relation qui compare deux expressions où au moins une partie est sous la forme d'une racine carrée.
- Racine Carrée : Pour tout nombre non négatif \( x \), la racine carrée de \( x \), notée \( \sqrt{x} \), est le nombre non négatif dont le carré est \( x \).
- Domaine de Définition : Ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles l'expression est définie.
- Quadratique : Équation polynomiale de degré 2.
- Valeur Absolue : Distance d'un nombre à zéro sur la droite des nombres réels.