Défis d'inégalités irrationnelles corrigés inclus
Relevez des défis captivants sur les inégalités irrationnelles et comparez vos résultats avec les corrigés détaillés.
Défis d'Inégalités Irrationnelles pour Lycéens
Voici un exercice explorant des inégalités irrationnelles qui mettra au défi votre compréhension mathématique. Résolvez les questions suivantes :
- Simplifiez l'expression \( \sqrt{x + 3} - \sqrt{x} < 1 \).
- Résolvez l'inégalité \( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{1}{2} \).
- Montrez que \( \sqrt{2x - 5} \geq x - 3 \) pour certains x réels.
- Établissez les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( x^2 < 4x + \sqrt{x + 1} \).
Règles et Formules pour les Inégalités Irrationnelles
- Assurez-vous que les termes sous les racines sont non négatifs.
- Élevez au carré pour éliminer les racines carrées, mais attention aux solutions extrinsèques.
- Utilisez l'isolement de termes sous la racine pour simplifier.
Indications pour Résoudre des Inégalités Irrationnelles
- Vérifiez toujours si les solutions satisfont l'inégalité originale.
- Graphiquement, comparez les deux membres de l'inégalité pour une meilleure compréhension.
- Essayez d'utiliser des inégalités connues comme AM-GM ou Cauchy-Schwarz si applicable.
Solutions Étape par Étape des Inégalités Irrationnelles
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Simplifiez \( \sqrt{x + 3} - \sqrt{x} < 1 \).
Supposons \( y = \sqrt{x} \). L'expression devient \( \sqrt{y^2 + 3} < y + 1 \).
En élevant au carré : \( y^2 + 3 < y^2 + 2y + 1 \), donc \( 3 < 2y + 1 \) ou \( 2 < 2y \).
Résolvant \( y > 1 \) donc \( x > 1 \).
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Résolvez \( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{1}{2} \).
Posons \( y = \sqrt{x} \). On a alors \( 2 \leq y + 2 \).
Donc, \( y \geq 0 \), ce qui est toujours vrai puisque \( y = \sqrt{x} \).
Alors, \( x \geq 0 \), donc l'inégalité est vraie pour tous les \( x \geq 0 \).
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Montrez que \( \sqrt{2x - 5} \geq x - 3 \).
Élevez au carré : \( 2x - 5 \geq (x - 3)^2 \).
Donc \( 2x - 5 \geq x^2 - 6x + 9 \), réarrangeant les termes : \( x^2 - 8x + 14 \leq 0 \).
Résolvons \( x = 4 \pm \sqrt{2} \) pour \( x \in [4 - \sqrt{2}, 4 + \sqrt{2}] \).
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Établissez \( x^2 < 4x + \sqrt{x + 1} \).
Solution graphique ou par cas :
Comparez \( y = x^2 \) et \( y = 4x + \sqrt{x + 1} \) par les dérivées ou intersection graphique.
Analyse chiffre par chiffre pour x jusqu'à convergence sur l'intervalle accepté.
Points Clés à Retenir pour les Inégalités Irrationnelles
- Faites attention aux solutions extrinsèques lors de l'élévation au carré.
- Vérifiez toujours les domaines de validité des expressions.
- Graphiquement, visualisez l'interaction entre les deux côtés de l'inégalité.
- La logique derrière l'élimination de la racine est cruciale pour des solutions correctes.
- Les solutions doivent être vérifiées dans l'inégalité originelle.
- Il est souvent utile de revenir à des expressions plus simples.
- Les inégalités souvent testent la compréhension conceptuelle non seulement computationnelle.
- Gardez à l'esprit l'inégalité pour les racines carrées : \( a > b \Rightarrow \sqrt{a} > \sqrt{b} \).
- Apprenez les inégalités utiles comme AM-GM, qui peuvent parfois résoudre les problèmes.
- Ne négligez pas les solutions négatives, à condition qu'elles soient dans le domaine.
Définitions Clés pour les Inégalités Irrationnelles
- Inégalité Irrationnelle : Une inégalité impliquant une expression racine carrée ou radicale.
- Solution Extrinsèque : Solution obtenue pendant la résolution qui ne satisfait pas l'inégalité originalement.
- Domaines de Validité : Valeurs pour lesquelles chaque expression sous la racine reste significative (c.-à-d., non négatif).
- Élévation au Carré : Méthode d'éliminer les racines carrées en élevant chaque côté d'une inégalité au carré.
- Intervalle Accepté : Domaine où toutes les solutions sont valides selon les conditions du problème.
