Maîtriser les inégalités irrationnelles exercices pratiques
Progressez dans la résolution des inégalités irrationnelles avec ces exercices pratiques et leurs solutions complètes.
Exercices pratiques sur les inégalités irrationnelles
Ce document présente une série d'exercices sur les inégalités irrationnelles. Chaque exercice incluera des questions et des solutions détaillées afin d'aider à maîtriser ce sujet essentiel.Règles et méthodes des inégalités irrationnelles
- Une inégalité irrationnelle est de la forme \(\sqrt{x} < a\) ou \(\sqrt{x} > a\).
- Pour résoudre \(\sqrt{x} < a\), élevez les deux côtés au carré : \(x < a^2\) (en s'assurant que \(a > 0\)).
- Pour résoudre \(\sqrt{x} > a\), élevez les deux côtés au carré : \(x > a^2\) (en s'assurant que \(a \geq 0\)).
- Vérifier les conditions de validité de l'inégalité après avoir élevé au carré.
- Utiliser des tests d'appartenance pour étudier le signe des expressions obtenues.
Indications pour résoudre les inégalités irrationnelles
- Identifiez la forme de l'inégalité (inférieure ou supérieure).
- Vérifiez la condition des valeurs comme \(a > 0\) avant de manipuler l'inégalité.
- Utilisez les méthodes d’intersection pour dessiner les solutions sur une droite numérique.
- Assurez-vous de valider vos solutions avec les conditions initiales.
Solutions détaillées des exercices
Exercice 1 :
Résoudre l'inégalité \(\sqrt{x} < 3\).
Élever au carré : \(x < 3^2\) soit \(x < 9\).
La solution est donc : \(x \in ] -\infty; 9[\).
Exercice 2 :
Résoudre l'inégalité \(\sqrt{x} > 4\).
Élever au carré : \(x > 4^2\) soit \(x > 16\).
La solution est alors : \(x \in ]16; +\infty[\).
Exercice 3 :
Résoudre l'inégalité \(\sqrt{x - 1} < 2\).
Élever au carré : \(x - 1 < 4\) donc \(x < 5\).
Par ailleurs, \(x - 1 \geq 0\) donc \(x \geq 1\).
La solution est donc : \(x \in [1; 5[\).
Exercice 4 :
Résoudre l'inégalité \(\sqrt{x + 2} > 1\).
Élever au carré : \(x + 2 > 1\) soit \(x > -1\).
Par ailleurs, la condition d'existence impose : \(x + 2 \geq 0\) donc \(x \geq -2\).
La solution est donc : \(x \in ]-1; +\infty[\).
Exercice 5 :
Résoudre l'inégalité \(\sqrt{2x + 3} < 5\).
Élever au carré : \(2x + 3 < 25\) soit \(2x < 22\) donc \(x < 11\).
La condition d'existence impose : \(2x + 3 \geq 0\) soit \(x \geq -\frac{3}{2}\).
La solution est donc : \(x \in [-\frac{3}{2}; 11[\).
Exercice 6 :
Résoudre l'inégalité \(\sqrt{4 - x} > 0\).
Élever au carré n’est pas nécessaire ici. Sachant que \(\sqrt{4 - x}\) est défini pour \(4 - x \geq 0\), donc \(x \leq 4\).
La solution est donc : \(x \in ]-\infty; 4]\).
Exercice 7 :
Résoudre l'inégalité \(\sqrt{x^2 - 4} < 3\).
Élever au carré : \(x^2 - 4 < 9\) donc \(x^2 < 13\), ce qui donne deux inégalités : \(-\sqrt{13} < x < \sqrt{13}\).
Conditions d'existence : \(x^2 - 4 \geq 0\) donc \(x \leq -2\) ou \(x \geq 2\).
La solution finale : \(x \in [-\sqrt{13}; -2] \cup [2; \sqrt{13}]\).
Exercice 8 :
Résoudre l'inégalité \(\sqrt{3x - 5} > 1\).
Élever au carré : \(3x - 5 > 1\) soit \(3x > 6\) donc \(x > 2\).
Condition d'existence : \(3x - 5 \geq 0\) donc \(x \geq \frac{5}{3}\).
Finalement la solution est : \(x \in ]2; +\infty[\).
Points clés à retenir
- Les inégalités irrationnelles doivent toujours être énoncées avec des conditions de validité.
- Élever au carré les deux côtés d'une inégalité peut changer le sens de l’inégalité.
- Les solutions doivent être vérifiées par rapport aux valeurs initiales.
- Utilisez une droite numérique pour représenter vos solutions.
- Les inégalités peuvent impliquer des systèmes de deux conditions.
- Soyez vigilant sur les extrémités ouvertes et fermées des intervalles.
- Une compréhension claire des racines carrées est essentielle.
- Associez toujours chaque solution à son domaine d'existence.
- Les tests de valeurs doivent être systématiques pour valider les inégalités.
- Pratiquez avec des exercices variés pour renforcer la maîtrise.
Définitions importantes
- Inégalité irrationnelle : Une inégalité impliquant des racines carrées ou d'autres opérations irrationnelles.
- Domaine de définition : Ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie.
- Condition d'existence : Règle pour laquelle une expression reste définie (ex. \(\sqrt{x} \geq 0\)).
- Intervalle : Une portion continue de nombres réels, pouvant être ouverte, fermée ou semi-ouverte.
- Test de valeurs : Méthode consistant à tester des valeurs dans une inégalité pour vérifier leur validité.