Exercices corrigés d'introduction aux inégalités polynomiales
Découvrez des exercices d'introduction aux inégalités polynomiales avec corrections complètes pour renforcer vos bases en mathématiques.
Exercices d'introduction aux inégalités polynomiales
Dans cet exercice, nous allons explorer les inégalités polynomiales à travers plusieurs problèmes pratiques. Répondez aux questions suivantes :- Question 1 : Déterminez le signe du polynôme \( P(x) = x^2 - 4 \) sur \( \mathbb{R} \).
- Question 2 : Résoudre l'inégalité \( x^3 - 3x^2 + 2x < 0 \).
- Question 3 : Trouvez les solutions de l'inégalité \( x^2 + 2x + 1 \geq 0 \).
- Question 4 : Étudier le signe du polynôme \( P(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \).
- Question 5 : Résoudre la double inégalité \( -1 < x^2 - 5x + 6 < 3 \).
- Question 6 : Dessinez le graphe du polynôme \( P(x) = x^2 - 2x - 3 \) et identifiez les intervalles où \( P(x) < 0 \).
- Question 7 : Trouver les points de contact entre le polynôme \( Q(x) = x^3 - 3x + 2 \) et l'axe des abscisses.
Règles et méthodes pour résoudre les inégalités polynomiales
- Une inégalité polynomiale se résout en trouvant les racines du polynôme.
- On dessine le tableau de variations pour déterminer les signes.
- Utiliser la méthode de test de signes pour les intervalles définis par les racines.
- Les polynômes de degré pair ont la même direction aux extrêmes, tandis que ceux de degré impair changent de signe.
- Il est important de considérer la condition d'égalité si elle est présente dans l'inégalité.
Indications pour résoudre les inégalités polynomiales
- Factoriser le polynôme si possible.
- Utiliser la méthode des intervalles pour étudier le signe dans chaque segment.
- Vérifier si un terme en \( x \) est toujours positif ou négatif.
- Ne pas oublier de prendre en compte les multiplicité des racines.
- Utiliser les essais numériques pour confirmer les intervalles.
Solutions détaillées des exercices
Question 1 : Pour \( P(x) = x^2 - 4 \), les racines sont \( x = -2 \) et \( x = 2 \). On analyse le signe dans les intervalles \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \) et \( (2, \infty) \).
Intervalles | Signe------------|------(-∞, -2) | +(-2, 2) | -(2, ∞) | +
Le polynôme est positif pour \( x < -2 \) et \( x > 2\), et négatif pour \( -2 < x < 2 \).
Question 2 : Pour \( x^3 - 3x^2 + 2x < 0 \), factorisons : \( x(x^2 - 3x + 2) < 0 \). Cela donne \( x(x-1)(x-2) < 0 \). On analyse les intervalles : \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, \infty) \).
Intervalles | Signe------------|------(-∞, 0) | +(0, 1) | -(1, 2) | +(2, ∞) | +
Donc, la solution est \( 0 < x < 1 \).
Question 3 : Pour \( x^2 + 2x + 1 \geq 0 \), on observe que \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \geq 0 \) pour tout \( x \). C'est donc toujours vrai.
Points clés à retenir sur les inégalités polynomiales
- Les racines d'un polynôme sont les valeurs qui annulent le polynôme.
- Les polynômes de degré impair ont un comportement asymptotique différent de ceux de degré pair.
- Un polynôme de degré \( n \) a au plus \( n \) racines réelles.
- Étudier le signe via le tableau de signes aide à visualiser les intervalles.
- Si l'inégalité inclut égalité, inclure les points de racine dans la solution.
- Utiliser des tests de signes sur des intervalles pour valider des solutions.
- Les inégalités polynomiales peuvent être résolues graphiquement.
- Considérer les multiplicité de racines influence le signe.
- Les solutions peuvent être des intervalles non disjoints.
- Chaque inégalité polynomiale peut avoir une solution unique ou multiple.
Définitions des termes relatifs aux inégalités polynomiales
- Polynôme : Expression algébrique formée de termes composés de variables elevées à des puissances non-négatives et de coefficients réels.
- Racine : Valeur de la variable pour laquelle le polynôme est nul.
- Signe : Indique si le polynôme est positif, négatif ou nul dans un intervalle.
- Tableau de signes : Méthode utilisée pour déterminer le signe d'un polynôme sur différents intervalles.
- Méthode des intervalles : Technique pour résoudre les inégalités en analysant le comportement du polynôme dans les intervalles délimités par les racines.