Problèmes complexes d'inégalités polynomiales avec solutions

Solutions détaillées des inégalités

1. Pour \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 < 0\), on peut factoriser le polynôme :

   \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

   Analysons le signe de chaque facteur autour des racines \(x = 1\), \(2\) et \(3\). Les intervalles sont \((-\infty, 1)\), \((1, 2)\), \((2, 3)\), et \((3, +\infty)\).

   graph LR;A((-∞, 1)) -->|+| B(1);B ---|0| C(2);C ---|0| D(3);D ---|+| E((3, +∞));

   Finalement, les solutions sont \((-\infty, 1) \cup (2, 3)\).
2. Pour \(x^4 - 5x^2 + 4 \geq 0\), on pose \(y = x^2\) et on résout \(y^2 - 5y + 4 \geq 0\). Les racines sont \(y = 1\) et \(y = 4\).

   graph LR;A((-\infty, 1)) -->|+| B(1);B --|0| C(4);C --|+| D((4, +∞));

   Ainsi, \(y \in (-\infty, 1] \cup [4, +\infty) \Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [-1, 1] \cup [2, +\infty)\).
3. Pour l'analyse de l'inégalité \(2x^2 - 8x + 6 \leq 0\), on commence par trouver les racines:

   \(x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6}}{2 \cdot 2} = 3 \pm \sqrt{3}\).

   Déterminons ensuite les intervalles en utilisant un diagramme de signes:

   graph LR;A((-\infty, r1)) -->|+| B(r1);B --|0| C(r2);C --|+| D((r2, +∞));

   \(\Rightarrow\) solution est \( [r1, r2] \) avec \(r1\) et \(r2\) comme les racines.
5. Pour \(x^3 + 3x^2 - 4 \geq 0\), essayons de factoriser. Les racines aux points critiques doivent être identifiées.

   Graphiquement, on détermine :\(x^3 + 3x^2 - 4 = 0\) laisse les intervalles à tester.

   Il faut représenter le signe et utiliser \(x\) comme un critère de sélection.

   graph LR;A((-\infty, r1)) -->|+| B(r1);B ---|0| C(r2);C ---|0| D((r3, +\infty));

   Ainsi, les solutions sont comprises dans ces définitions.
6. Pour montrer \(x^2 - 4x + 3 < 0\), observer d'abord les racines : \(x = 1\) et \(x = 3\).

   Utiliser un tableau de signes :\(\Rightarrow (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)\)\end{p}

   graph LR;A((-\infty, 1)) -->|+| B(1);B ---|0| C(3);C ---|+| D((3, +\infty));

   Donne ainsi que la solution se limite à \((1, 3)\).
7. Pour étudier \(x^5 - x < 0\), on refactore en \(x(x^4 - 1) < 0\).

   Ce qui se simplifie en \(x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) < 0\).

   Analysez les intervalles basées sur les racines déterminées ci-dessus :

   graph LR;A((-\infty, -1)) -->|+| B(-1);B ---|0| C(0);C ---|0| D(1);D ---|+| E((1, +∞));

   Finalement, solution :\((-1, 0) \cup (0, 1)\).