Réussir les contrôles sur les inégalités polynomiales

Préparez-vous efficacement aux contrôles sur les inégalités polynomiales avec nos exercices corrigés et astuces de réussite.

Comment résoudre des inégalités polynomiales au lycée

Voici un exercice détaillé pour vous aider à comprendre comment aborder et résoudre les inégalités polynomiales au lycée.

Résolvez l'inégalité \(2x^3 - 3x^2 - 8x + 12 \leq 0\).
Déterminez les intervalles de solutions pour \(x(x-2)(x+3) < 0\).
Étudiez le signe du polynôme \(x^4 - 5x^2 + 4\).
Trouvez les solutions de \((x-1)^2(x+2) \geq 0\).
Résolvez l'inégalité \(|x^2 - 1| < 3\).
Déterminez les intervalles de solutions pour \(\frac{x^2 - 4}{x + 1} > 2\).
Étudiez le signe du polynôme \(x^3 + 4x^2 - x - 4\) en utilisant le tableau de signes.
Résolvez l'inégalité \((2x - 3)(x + 1)^2 \leq 0\).

Trouvons d'abord les racines de \(2x^3 - 3x^2 - 8x + 12\) :

\(x_1 = 2, \, x_2 = -2, \, x_3 = \frac{3}{2}\)

Utilisons le tableau de signes pour déduire les intervalles de solutions. Le polynôme change de signe aux racines.

Résultat : \(x \in [-2, \frac{3}{2}] \cup [2, +\infty[\).
Analysons \(x(x-2)(x+3) < 0\) :

Racines : \(x=0, \, x=2, \, x=-3\). Étudions les signes entre ces racines.

Résultat : \(x \in ]-3, 0[ \cup ]2, +\infty[\).

La connaissance des racines est essentielle pour étudier le signe d'un polynôme.
Les signes du polynôme peuvent être déterminés par le tableau de signes.
L'intervalle de solutions est souvent lié aux passages par zéro du polynôme.