Inégalités simples exercices corrigés intermédiaires

Approfondissez vos connaissances avec des exercices corrigés d'inégalités simples de niveau intermédiaire pour élèves au collège et lycée.

Problématique sur les inégalités simples

Dans cet exercice, nous explorerons plusieurs inégalités simples. Voici les questions à traiter :

1. Résoudre l'inégalité \(2x - 3 > 7\).
2. Trouver la solution de \(4x + 5 \leq 3x + 9\).
3. Quelle est la solution de \(-3x + 7 < -2x + 10\) ?
4. Résoudre l'inégalité \(5 \leq 2x + 1 < 11\).
5. Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\frac{x+2}{3} - 1 \geq 0\).

Lorsqu'une inégalité est multipliée ou divisée par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.
On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés de l'inégalité sans changer son sens.
Les solutions peuvent être représentées sur une droite numérique.
Utiliser une approche étape par étape pour simplifier et résoudre les inégalités.

1. Résoudre \(2x - 3 > 7\).
\(2x - 3 > 7\) :

\(\Rightarrow 2x > 7 + 3\)

\(\Rightarrow 2x > 10\)

\(\Rightarrow x > 5\)
2. Trouver la solution de \(4x + 5 \leq 3x + 9\).
\(4x + 5 \leq 3x + 9\) :

\(\Rightarrow 4x - 3x \leq 9 - 5\)

\(\Rightarrow x \leq 4\)
3. Quelle est la solution de \(-3x + 7 < -2x + 10\)?
\(-3x + 7 < -2x + 10\) :

\(\Rightarrow -3x + 2x < 10 - 7\)

\(\Rightarrow -x < 3\)

\(\Rightarrow x > -3\) (changement du sens de l'inégalité)
4. Résoudre \(5 \leq 2x + 1 < 11\).
\(5 \leq 2x + 1\) et \(2x + 1 < 11\)

\(\Rightarrow 4 \leq 2x\) et \(2x < 10\)

\(\Rightarrow 2 \leq x\) et \(x < 5\)

Intervalle de solution : \(2 \leq x < 5\)
5. Déterminer les valeurs de \(\frac{x+2}{3} - 1 \geq 0\).
\(\frac{x+2}{3} - 1 \geq 0\) :

\(\Rightarrow \frac{x+2}{3} \geq 1\)

\(\Rightarrow x + 2 \geq 3\)

\(\Rightarrow x \geq 1\)

Un ajout ou une soustraction de chaque côté de l'inégalité ne modifie pas son sens.
Multiplier ou diviser par un nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité.
L'inégalité change de sens si on multiplie ou divise par un nombre négatif.
Représenter les solutions sur une droite numérique pour une meilleure intuition.
Les solutions des inéquations peuvent être un intervalle ou une réunion d'intervalles.
L'inverse de la multiplication/division par un signe négatif est la raison du changement de sens.
Travailler étape par étape pour éviter les erreurs lors du calcul.
Vérifier les solutions en utilisant des points de test dans les intervalles.
Faire attention aux inégalités doubles, qui nécessitent souvent deux étapes pour résoudre.
Utiliser des représentations graphiques ou diagrammes pour simplifier la compréhension.

Inégalité : Une relation qui indique que deux expressions ne sont pas égales et sont séparées par des symboles tels que \(>\), \(<\), \(\leq\), ou \(\geq\).
Solution d'une inégalité : Valeur(s) de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie.
Inégalités équivalentes : Deux inégalités ayant exactement le même ensemble de solutions.
Intervalle : Une partie d'une droite numérique constituée de tous les nombres entre deux valeurs données.