Défis experts Systèmes d'inégalités avec corrections
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Systèmes d'inégalités : Exercices et Corrigés
Étudions un système d'inégalités. Considérons les inégalités suivantes :1. \(2x + 3y \leq 12\)2. \(x - y \geq 1\)3. \(x \geq 0\)4. \(y \geq 0\)Répondez aux questions suivantes :Règles et Méthodes pour Résoudre les Systèmes d'Inégalités
- Représenter chaque inégalité sur un plan cartésien.
- Identifier les zones de solution (l'aire commune des inégalités).
- Utiliser des test points pour vérifier les solutions.
- Les solutions doivent respecter toutes les inégalités.
- Les lignes des inégalités doivent être tracées en continue ou en pointillé selon qu'elles sont strictes ou non.
- Les zones au-dessus ou en dessous de la ligne doivent être déterminées par des tests de points.
Indications pour la Résolution
- Utilisez l'interception des axes pour tracer les inégalités.
- Évaluez les inégalités à l'aide de points de test pour définir les zones.
- Rapportez les points d'intersection pour trouver des limites.
- Vérifiez que la zone de surpression correspond à toutes les inégalités.
Corrigés à Chaque Question
Question 1 : Tracer le graphique des inégalités
Pour \(2x + 3y \leq 12\), nous trouvons les points d'interception :
- Lorsque \(x = 0\), \(y = 4\) (point \(A(0,4)\))
- Lorsque \(y = 0\), \(x = 6\) (point \(B(6,0)\))
Pour \(x - y \geq 1\), nous avons l'interception :
- Lorsque \(x = 1\), \(y = 0\) (point \(C(1,0)\))
- Lorsque \(y = 0\), \(x = 1\) (point \(D(1,1)\))
Voici donc le graphique:
Nous trouvons que la solution est l'aire entre les deux lignes.
Question 2 : Déterminez les points de solution
En résolvant le système, nous devons vérifier tous les points dans les limites ci-dessus.
Points Clés à Retenir sur les Systèmes d'Inégalités
- Les systèmes d'inégalités représentent des régions, pas des points.
- Chaque inégalité impose une contrainte sur les solutions possibles.
- Les solutions doivent satisfaire toutes les inégalités également.
- Les graphiques aident à visualiser la solution commune.
- Les points d'intersection déterminent les bords des solutions.
- Les tests de points permettent de valider la solution.
- Les inégalités peuvent être strictes ou non, ce qui affecte le tracé graphique.
- La solution est souvent une région polygonale dans le plan.
- Utiliser la méthode de substitution ou d’élimination pour simplifier les systèmes.
- Confirmer les réponses par des vérifications des contraintes d'inégalités.
Définitions des Termes Utilisés
- Système d'inégalités : Un ensemble d'inégalités que les variables doivent satisfaire.
- Inégalité : Une relation mathématique transverse qui démontre qu'une valeur est supérieure ou inférieure à une autre.
- Point de test : Un point utilisé pour déterminer la validité d'une région par rapport à une inégalité.
- Interceptions : Points où les lignes croisent les axes des coordonnées.
- Jonathan des bords : L'aire ou la ligne qui représente le changement entre les zones acceptables et non acceptables.
- Région solution : La zone sur un graphique qui satisfait toutes les contraintes d'un système d'inégalités.