Pratiquez les intégrales exercices corrigés avancés

Mettez vos compétences à l'épreuve avec des exercices avancés sur les intégrales. Chaque exercice est corrigé pour une meilleure compréhension.

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Pratique des Intégrales : Exercices Corrigés Avancés

Dans cet exercice, nous allons explorer plusieurs questions sur les intégrales définies et non définies. Les questions suivantes vous aideront à approfondir vos connaissances et à développer vos compétences en intégration.

Question 1 : Calculez l'intégrale définie $\int_{0}^{1}(3x^2 + 2x)dx$.
Question 2 : Trouvez la primitive de la fonction $f(x) = 4x^3$.
Question 3 : Déterminez l'aire sous la courbe de $f(x) = x^2$ entre $x = 1$ et $x = 3$.
Question 4 : Évaluez l'intégrale $\int_{-1}^{2}(x^2 - 3x + 2)dx$.
Question 5 : Calculez l'intégrale non définie $\int(6x^5 - x^2 + 2)dx$.

Règles et Méthodes sur les Intégrales

Règle fondamentale de l'intégration : si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int f(x)dx = F(x) + C$.
Pour les intégrales définies, utilisez la formule $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$.
Technique de substitution : si $u = g(x)$, alors $du = g'(x)dx$.
Pour une fonction polynomiale, la primitive est trouvée en ajoutant 1 à l'exposant et en divisant par le nouvel exposant.
Pour les fonctions de la forme $ax^n$, la primitive est $F(x) = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C$.

Indications pour la Résolution des Problèmes d'Intégrales

Identifiez d'abord le type d'intégrale (définie ou non définie).
Pour les intégrales définies, établissez les bornes d'intégration.
Utilisez des regroupements d'expressions lorsque cela est nécessaire pour simplifier l'intégration.
Vérifiez toujours vos calculs en utilisant une approche graphique si possible.
Rappelez-vous des propriétés des intégrales pour les fonctions symétriques.

Solutions Détailées des Questions

Question 1

Calculons $\int_{0}^{1}(3x^2 + 2x)dx$.La primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ est $F(x) = x^3 + x^2$.Ainsi, on a :\[\int_{0}^{1}(3x^2 + 2x)dx = F(1) - F(0) = (1^3 + 1^2) - (0^3 + 0^2) = 1 + 1 = 2.\]

Question 2

Pour trouver la primitive de $f(x) = 4x^3$, nous utilisons la règle de base :\[F(x) = \frac{4}{3+1}x^{3+1} + C = x^4 + C.\]

Question 3

Déterminer l'aire sous la courbe de $f(x) = x^2$ entre $x = 1$ et $x = 3$ :\[\int_{1}^{3}x^2dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{3} = \left(\frac{27}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{26}{3}.\]

Question 4

Évaluons $\int_{-1}^{2}(x^2 - 3x + 2)dx$ :La primitive est $F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$.Calculons :\[F(2) - F(-1).\]Ainsi,\[F(2) = \frac{8}{3} - 6 + 4 = \frac{8 - 18 + 12}{3} = \frac{2}{3},\]et\[F(-1) = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{3} - \frac{9}{6} - \frac{12}{6} = -\frac{1 + 9 + 12}{6} = -\frac{22}{6} = -\frac{11}{3}.\]Calculons donc :\[F(2) - F(-1) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{2 + 11}{3} = \frac{13}{3}.\]

Question 5

Calculons l'intégrale non définie $\int(6x^5 - x^2 + 2)dx$ :Utilisons la formule de la primitive pour chaque terme :\[F(x) = \frac{6}{6}x^{6} - \frac{1}{3}x^{3} + 2x + C = x^{6} - \frac{1}{3}x^{3} + 2x + C.\]

Points Clés à Retenir

Comprendre la différence entre intégrales définies et non définies.
Savoir utiliser la règle fondamentale de l'intégration.
Réaliser des substitutions lorsqu'il le faut.
Intégrer des fonctions polynomiales simplement.
Connaître les propriétés des intégrales.
Être capable de calculer des aires sous des courbes.
Utiliser des graphiques pour comprendre les intégrales.
Vérifier les résultats avec les dérivées.
Être conscient des erreurs courantes en intégration.
Pratiquer avec des exercices variés pour renforcer les compétences.

Définitions Importantes

Intégrale définie : Intégrale calculée sur un intervalle fermé $[a,b]$ qui donne la différence des valeurs de la primitive aux bornes.
Intégrale non définie : Ensemble des fonctions qui sont des primitives d'une fonction donnée, incluant une constante d'intégration $C$.
Primitive : Fonction dont la dérivée est la fonction donnée.
Aire sous la courbe : Valeur de l'intégrale définie qui correspond à l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses sur un intervalle donné.
Substitution : Technique d'intégration qui consiste à substituer une variable pour simplifier une intégrale.