Exercices corrigés sur les limites des fonctions polynômes
Plongez dans les limites des fonctions polynômes avec ces exercices corrigés, parfaits pour valider vos acquis scolaires en mathématiques.
Exercices corrigés sur les limites des fonctions polynômes
Considérons les fonctions polynômes suivantes et calculons leurs limites. Voici six questions à résoudre :- Question 1: Quel est la limite de la fonction \( f(x) = 3x^2 + 5x - 2 \) lorsque \( x \) tend vers 2 ?
- Question 2: Quelle est la limite de la fonction \( g(x) = x^3 - 4x + 1 \) lorsque \( x \) tend vers 0 ?
- Question 3: Trouvez la limite de \( h(x) = 2x^4 - x^2 + 7 \) lorsque \( x \) tend vers l'infini.
- Question 4: Déterminez la limite lorsque \( x \) tend vers -1 de la fonction \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).
- Question 5: Que vaut la limite de \( g(x) = x^2 - 2x + 1 \) lorsque \( x \) tend vers 1 ?
- Question 6: Quelle est la limite de \( h(x) = -5x^2 + 4x + 3 \) lorsque \( x \) tend vers 0 ?
Règles et Méthodes pour les Limites
- La limite d'une fonction polynôme lorsque \( x \) tend vers \( a \) peut être trouvée en substituant directement \( a \) dans la fonction.
- Pour les limites à l'infini, considérez le terme de plus haut degré.
- Si la fonction est continue à un point, la limite à ce point est égale à la valeur de la fonction.
Indications pour la Résolution
- Rappellez-vous que les polynômes sont continus.
- Utilisez la substitution pour évaluer les limites aux points spécifiques.
- Pour les limites infinies, analysez le terme de plus haut degré pour déterminer le comportement de la fonction.
Corrections Détaillées des Questions
Solution pour Question 1:
Calculez \( f(2) = 3(2^2) + 5(2) - 2 \)
Calculons :
\[ f(2) = 3(4) + 10 - 2 = 12 + 10 - 2 = 20 \]
La limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers 2 est \( 20 \).
Solution pour Question 2:
Calculez \( g(0) = 0^3 - 4(0) + 1 = 1 \)
La limite de \( g(x) \) lorsque \( x \) tend vers 0 est \( 1 \).
Solution pour Question 3:
Pour \( h(x) \) lorsque \( x \) tend vers l'infini, considerons \( 2x^4 \), dominant lorsqu \( x \) tend vers l'infini.
Donc, \( \lim_{x \to \infty} h(x) = \infty \).
Solution pour Question 4:
Calculez \( f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 \)
Calcul :
\[ f(-1) = -1 + 3 - 3 + 1 = 0 \]
La limite est donc \( 0 \).
Solution pour Question 5:
Calculez \( g(1) = 1^2 - 2(1) + 1 \)
Calcul :
\[ g(1) = 1 - 2 + 1 = 0 \]
La limite est \( 0 \).
Solution pour Question 6:
Calculez \( h(0) = -5(0^2) + 4(0) + 3 = 3 \)
La limite est donc \( 3 \).
Points Clés à Retenir
- Les fonctions polynômes sont continues.
- La limite est le même que la valeur de la fonction en un point de continuité.
- Les limites infinies considèrent le terme de plus haut degré.
- La substitution directe est la méthode de base pour évaluer les limites.
- Les polynômes de degré impair peuvent avoir des limites infinies.
- Les polynômes de degré pair tendent vers l'infini tout en allant vers les deux extrêmes.
- Examinez les coefficients lors de la détermination des limites à l'infini.
- Vérifiez toujours la continuité autour du point d'intérêt.
- Utilisez des graphiques pour visualiser le comportement des polynômes à différentes limites.
- Le théorème d'existence des limites s'applique uniformément aux polynômes.
Définitions Importantes
- Limite: La valeur qu'une fonction approche lorsque l'argument tend vers un point donné.
- Fonction Polynomiale: Une fonction de la forme \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 \), où \( a_n \) sont des coefficients.
- Degré d'un Polynôme: Le plus haut exposant de \( x \) dans le polynôme.
- Continuity: Une fonction est continue si la limite en un point est égale à la valeur de la fonction en ce point.
- Dominant: Terme de plus haut degré qui détermine le comportement asymptotique d'un polynôme à l'infini.
