Exercices Corrigés Limite à l'Infini Intermédiaire

Renforcez vos compétences avec ces exercices intermédiaires sur les limites à l'infini, accompagnés de solutions explicatives.

Exercice Corrigé : Limites à l'Infini Intermédiaire

Considérer la fonction $f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x - 1}$. Répondre aux questions suivantes :

Pour des polynômes, la limite à l'infini est déterminée par le terme dominant.
Pour les fonctions rationnelles, on divise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de $x$.
Une asymptote horizontale existe lorsque la limite de $f(x)$ est une constante lorsque $x$ tend vers l'infini.
Une fonction est continue en un point si la limite en ce point est égale à la valeur de la fonction en ce point.

Pour déterminer $\lim_{x \to \infty} f(x)$, simplifiez $f(x)$ s'il y a des termes dominants.
Pour les limites à gauche et à droite, vérifier les comportements à proximité du point d’intérêt.
Rappel : $\lim_{x \to a} f(x)$ existe si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$.
Visualisation graphique peut aider à comprendre le comportement de la fonction.

1. Pour $\lim_{x \to \infty} f(x)$, on analyse le terme dominant :

$$f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x - 1} = \frac{3 - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}} \to 3 \text{ lorsque } x \to \infty.$$

Donc, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$.

2. Pour $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, même méthode :

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{3}{1} = 3.$$

3. En $x = 1$, on a une discontinuité :

$$f(1) \text{ n'est pas défini et } \lim_{x \to 1} f(x) \text{ n'est pas égal à } f(1)$$.

4. L'asymptote horizontale est $y = 3$.

5. Pour tracer le graphique, utilisez la bibliothèque Chart.js.

6. Pour déterminer les intervalles de croissance, on calcule $f'(x)$ :

$$f'(x) = \frac{(6x)(x - 1) - (3x^2 - 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{3x^2 - 6x + 2}{(x - 1)^2}.$$

7. Près de l’asymptote verticale en $x = 1$, $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le côté d'approche.

Les polynômes de degré supérieur dominent dans les limites à l'infini.
Les asymptotes horizontales peuvent être trouvées par des limites aux infinis.
Une discontinuité peut être un indice de la présence d'une asymptote verticale.
La continuité en un point nécessite que les limites à gauche et à droite soient égales.
Le comportement d'une fonction à l'infini peut être visualisé avec un graphique.
Les fonctions rationnelles peuvent être analysées en simplifiant leur expression.
La croissance/de la décroissance est déterminée par la dérivée de la fonction.
Les asymptotes constituent des lignes directrices importantes pour le comportement de fonction.
L'utilisation de logiciels ou de graphes peut faciliter l'analyse des limites.
Les asymptotes verticales sont liées à des points de non-définition.

Limite à l'Infini : Comportement d'une fonction lorsque la variable indépendante tend vers l'infini.
Asymptote : Une ligne que la courbe d'une fonction approche mais ne touche jamais.
Discontinuité : Un point où une fonction n'est pas continue.
Fonction Rationnelle : Un quotient de deux polynômes.
Dérivée : Représente le taux de variation d'une fonction.