Exercices Corrigés Anticipation Limite à l'Infini

Préparez-vous à l'évaluation avec ces exercices d'anticipation. Les corrections vous aideront à mieux comprendre les limites à l'infini.

Exercices Corrigés : Limites à l'Infini

Dans cet exercice, nous allons explorer les limites à l'infini. Pour cela, nous allons résoudre les questions suivantes :

1. Calculer la limite de la fonction $f(x) = \frac{2x + 3}{3x - 5}$ quand $x$ tend vers l'infini.
2. Déterminer la limite de la fonction $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$ quand $x$ tend vers l'infini.
3. Montrer que la limite de $h(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ est $0$ quand $x$ tend vers l'infini.
4. Estimer la limite de $k(x) = \frac{e^x}{x^2}$ quand $x$ tend vers l'infini.
5. Calculer la limite de la fonction $m(x) = \frac{1}{x}$ quand $x$ tend vers l'infini.
6. Démontrer que la limite de $n(x) = x \cdot e^{-x}$ est $0$ quand $x$ tend vers l'infini.
7. Trouver la limite de la fonction $p(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ quand $x$ tend vers l'infini.
8. Comparer la vitesse de croissance des fonctions $x^3$ et $3^x$ à l'infini.

La limite d'un quotient de polynômes peut être déterminée en comparant les degrés des polynômes.
Si le numérateur a un degré inférieur au dénominateur, la limite est $0$.
Si le numérateur a un degré supérieur au dénominateur, la limite est infinie.
Si les deux polynômes ont le même degré, la limite est le rapport des coefficients directeurs.
Pour les fonctions exponentielles, $\lim_{x \to \infty} e^x = \infty$.
Pour les fonctions logarithmiques, $\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty$, mais croît plus lentement que toute puissance.

1. Pour $f(x) = \frac{2x + 3}{3x - 5}$ :

Nous divisons le numérateur et le dénominateur par $x$ :

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{3 - \frac{5}{x}} = \frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}$$

2. Pour $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$ :

$$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0 + 0} = 1$$

3. Pour $h(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ :

Comme $\sin(x)$ est bornée entre -1 et 1 :

$$\lim_{x \to \infty} h(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$$

4. Pour $k(x) = \frac{e^x}{x^2}$ :

On applique la règle de L'Hôpital deux fois :

$$\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty$$

5. Pour $m(x) = \frac{1}{x}$ :

$$\lim_{x \to \infty} m(x) = 0$$

6. Pour $n(x) = x \cdot e^{-x}$ :

On applique la règle de L'Hôpital :

$$\lim_{x \to \infty} n(x) = 0$$

7. Pour $p(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ :

On applique la règle de L'Hôpital :

$$\lim_{x \to \infty} p(x) = 0$$

8. Pour comparer $x^3$ et $3^x$, on note que :

Comme $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{3^x} = 0$, alors $3^x$ croît plus rapidement que $x^3$.

Comprendre le comportement des fonctions à l’infini est essentiel.
Analyser les termes dominants aide au calcul des limites.
La forme indéterminée nécessite des techniques spéciales comme la règle de L'Hôpital.
Visualiser des graphiques aide à mieux comprendre les limites.
Les limites des exponentielles excèdent tout polynôme à l'infini.
Les logarithmes croissent lentement par rapport aux polynômes.
Les limites à l'infini peuvent être finies ou infinies.
Les produits de fonctions divergent souvent vers zéro.
Comparer les vitesses de croissance aide à évaluer les limites.
Pratiquer des exercices diversifiés renforce la compréhension.

Limite : Valeur que prend une fonction lorsque les variables approchent une certaine valeur ou l'infini.
Indéterminée : Forme qui ne permet pas de déterminer la limite directement, comme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.
Termes dominants : Termes qui ont la plus grande influence sur le comportement d’une fonction à l’infini.
Règle de L'Hôpital : Méthode utilisée pour évaluer les limites indéterminées.
Asymptote : Ligne que la courbe d'une fonction approche à l'infini.