Défis Évaluation Limites à l'Infini Exercices Corrigés

Testez vos compétences avec ces défis d'évaluation sur les limites à l'infini. Corrigés détaillés à l'appui pour vous guider !

Défis d'Évaluation : Limites à l'Infini

Considérons la fonction \(f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}\). Répondez aux questions suivantes :

1. Calculez la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers l'infini.
2. Déterminez la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers moins l'infini.
3. Étudiez la continuité de la fonction \(f(x)\) à l'infini.
4. Représentez graphiquement la fonction \(f(x)\) et indiquez les asymptotes.
5. Que pouvez-vous conclure sur le comportement de \(f(x)\) pour des valeurs de \(x\) très grandes?

La limite d'un quotient \( \frac{f(x)}{g(x)} \) se calcule en analysant les termes dominants.
Lorsqu'une fonction polynomiale est au numérateur et au dénominateur, la limite se trouve en regardant les coefficients des termes de plus haut degré.
Les fonctions rationnelles ont des asymptotes verticales lorsque \( g(x) = 0 \).
Pour \( \lim_{x \to \pm\infty} f(x) \), on simplifie \( f(x) \) pour \( x \) grand.

Identifiez les termes dominants dans le numérateur et le dénominateur.
Simplifiez la fonction pour obtenir une forme approchée lorsque \( x \) est très grand.
Utilisez des diagrammes pour visualiser les asymptotes et le comportement à l'infini.
Pensez à dessiner la fonction pour mieux comprendre son comportement.

Pour calculer la limite lorsque \(x \to +\infty\) :

Nous avons \(f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}\). Le terme dominant au numérateur et donne :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\]

Pour la limite lorsque \(x \to -\infty\) :

Le calcul est similaire :

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2\]

La fonction est continue à l'infini car ses limites aux deux infinis existent et sont égales.

Pour représenter graphiquement \(f(x)\), nous pouvons utiliser Chart.js. Voici un exemple de code pour cela :

Pour les très grandes valeurs de \(x\), \(f(x)\) se rapproche de 2, ce qui indique que la fonction a une asymptote horizontale \(y = 2\).

Les limites à l'infini indiquent le comportement asymptotique d'une fonction.
Pour les fonctions rationnelles, la limite dépend des termes de plus haut degré.
Les asymptotes verticales se produisent quand \(g(x) = 0\).
Il est crucial de dessiner la fonction pour visualiser les limites.
On peut utiliser des outils de calcul graphique pour étudier le comportement des fonctions.
Les polynômes déterminent souvent le comportement à l'infini.
Une limite finie à l'infini peut indiquer une asymptote horizontale.
La continuité à l'infini implique que la fonction ne diverge pas.
Les asymptotes horizontales sont données par les limites aux infinis.
Il est important d'utiliser des simplifications appropriées pour les limites.

Limite à l'Infini : Comportement d'une fonction lorsque la variable indépendante croît indéfiniment.
Asymptote Horizontale : Ligne que la courbe approche lorsque \(x\) tend vers l'infini.
Asymptote Verticale : Ligne à laquelle la fonction diverge à un certain point sur l'axe des \(x\).
Terme Dominant : Terme avec le plus grand degré dans un polynôme, déterminant le comportement de la fonction.
Continuité : Propriété d'une fonction où la limite à un point correspond à la valeur de la fonction en ce point.