Exercices Corrigés Limite à l'Infini Intermédiaire
Renforcez vos compétences avec ces exercices intermédiaires sur les limites à l'infini, accompagnés de solutions explicatives.
Exercices Corrigés : Limites à l'Infini Intermédiaire
Cet exercice vise à aborder le thème des limites à l'infini à travers quatre questions. Nous allons explorer des fonctions variées et leurs comportements en étudions leurs limites lorsque la variable tend vers l'infini.Règles et Méthodes pour comprendre les Limites à l'Infini
- Une limite à l'infini est la valeur que prend une fonction lorsque la variable indépendante tend vers l'infini.
- Si \( f(x) \) et \( g(x) \) tendent vers l'infini, on peut utiliser la forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \) pour calculer la limite.
- Pour les polynômes, la limite dépend du terme dominant.
- Dans le cas des fractions, simplifier le numérateur et le dénominateur peut aider.
- Pour les racines, utiliser la rationalisation peut donner des résultats clairs.
Indications pour Résoudre les Limites à l'Infini
- Commencer par identifier le type de fonction à analyser.
- Déterminer le comportement asymptotique des termes.
- Utiliser le calcul des limites inférieures et supérieures si nécessaire.
- Considérer le cas particulier des fonctions exponentielles ou logarithmiques.
Solutions Detaillées des Questions
Question 1
Calculer la limite de \( f(x) = \frac{3x^2 + 5}{2x^2 + 1} \) quand \( x \) tend vers l'infini.Pour déterminer cette limite, nous examinons les termes dominants dans le numérateur et le dénominateur :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} \]
Quand \( x \) tend vers l'infini, \( \frac{5}{x^2} \) et \( \frac{1}{x^2} \) tendent vers \( 0 \) :
\[ = \frac{3 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} \]
Donc, la limite est \( \frac{3}{2} \).
Question 2
Déterminer la limite de \( g(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^3 - 5} \) quand \( x \) tend vers l'infini.Ici, le terme dominant est \( x^3 \) dans le numérateur et le dénominateur :
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 2x}{x^3 - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{5}{x^3}} \]
Encore une fois, les fractions tendent vers \( 0 \) :
\[ = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \]
Question 3
Calculer la limite de \( h(x) = e^x \) quand \( x \) tend vers l'infini.La limite de \( e^x \) est connue :
\[ \lim_{x \to \infty} e^x = \infty \]
Question 4
Calculez \( k(x) = \sqrt{x^2 + x} \) lorsque \( x \) tend vers l'infini.Nous pouvons factoriser par \( x^2 \) :
\[ \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} \]
Quand \( x \) tend vers l'infini, \( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \) tend vers \( 1 \) :
\[ = \infty \]
Points Clés à Retenir sur les Limites à l'Infini
- Les limites à l'infini aident à comprendre le comportement des fonctions.
- Simplifier les fractions aide grandement au calcul des limites.
- Le terme dominant détermine la limite chez les polynômes.
- Les fonctions exponentielles croissent plus vite que les polynômes.
- Les limites de \( \frac{\infty}{\infty} \) nécessitent l'utilisation de l'Hôpital.
- Le comportement des racines peut nécessiter une simplification.
- Les limites à l'infini peuvent également être négatives si la fonction décroît.
- Les résultats peuvent être représentés graphiquement, ce qui aide à visualiser les limites.
- Être conscient des formes indéterminées lors du calcul des limites.
- Être curieux et pratiquer de nombreux exercices pour maîtriser ce concept.
Définitions et Termes Importants
- Limite à l'infini : Un concept qui décrit le comportement d'une fonction lorsque la variable indépendante tend vers l'infini.
- Termes dominants : Les termes qui influencent le comportement d'une fonction lors des limites.
- Forme indéterminée : Une expression mathématique dont la limite n'est pas claire sans davantage d'analyse.
- Rationalisation : Une méthode pour simplifier une expression en éliminant les racines.
- Quantité négligeable : Un terme dont la valeur devient insignifiante par rapport à d'autres termes à l'infini.