Exercices Corrigés Avancés Limites à l'Infini
Mettez au défi vos connaissances avec des exercices avancés sur les limites à l'infini et retrouvez toutes les corrections détaillées.
Exercices Corrigés Avancés : Limites à l'Infini
Dans cet exercice, nous allons explorer les limites à l’infini de différentes fonctions. Répondez aux questions suivantes :- 1. Calculez la limite de \(\frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}\) quand \(x\) tend vers l'infini.
- 2. Déterminez la limite de \(\frac{5x + 1}{2x + 3}\) quand \(x\) tend vers moins l'infini.
- 3. Évaluez \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^2 + 2}{2x^3 + 5}\).
- 4. Que se passe-t-il pour \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\) ?
- 5. Trouvez \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} \cdot x^2\).
- 6. Calculez la limite de \(\frac{\sin(x)}{x}\) quand \(x\) tend vers l'infini.
Règles et Méthodes pour les Limites à l'Infini
- Utiliser la règle de L'Hôpital lorsque la limite prend la forme \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \).
- Lorsque \(x\) tend vers l'infini, les termes de plus haut degré dominent dans un polynôme.
- Pour les fonctions exponentielles, \(e^{-x} \to 0\) quand \(x \to \infty\).
Indications pour la Résolution
- Pour les polynômes, simplifiez en divisant par le plus haut degré.\
- Pour \(\frac{5x + 1}{2x + 3}\), concentrez-vous sur les coefficients des \(x\) dominants.
- Soyez attentif aux formes indéterminées et appliquez L'Hôpital si nécessaire.
Solutions Détailées des Questions
1. \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}\)
La forme est de type \(\frac{\infty}{\infty}\). Nous divisons par \(x^2\): \[\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2.\]
2. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{5x + 1}{2x + 3}\)
On divise par \(x\):\[\lim_{x \to -\infty} \frac{5 + \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{5 + 0}{2 + 0} = \frac{5}{2}.\]
3. \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^2 + 2}{2x^3 + 5}\)
Divisions par \(x^3\):\[\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}{2 + \frac{5}{x^3}} = \frac{1 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}.\]
4. \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\)
La limite n'existe pas, car elle diverge vers \(\infty\) lorsque \(x\) tend vers 0 par la droite et vers \(-\infty\) par la gauche.
5. \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} \cdot x^2\)
C'est de type \(0 \cdot \infty\). Transformez-le en \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}\). On applique L'Hôpital:\[\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = 0.\]
6. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x}\)
Cette limite est égale à \(0\), car \(\sin(x)\) est borné entre -1 et 1, donc:\[-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{1}{x}.\]
Points Clés à Retenir
- Limites à l'infini nécessitent souvent des simplifications.
- Les termes dominants d'un polynôme définissent la limite.
- La règle de L'Hôpital peut résoudre plusieurs formes indéterminées.
- Les exponentielles décèdent plus rapidement que les polynômes à l'infini.
- Les limites de \(\frac{\sin(x)}{x}\) et \(\frac{1}{x}\) sont fondamentales.
- Ne pas confondre les limites à gauche et à droite.
- Analyser les comportements asymptotiques améliore la compréhension.
- Divergences aux bornes requièrent une attention particulière.
- La notation de Landau (\(O\) et \(o\)) peut aider à la classification des limites.
- Le graphe d'une fonction peut fournir des indices sur ses limites.
Définitions des Termes Utilisés
- Limite à l'infini : Valeur vers laquelle une fonction tend lorsque la variable d'entrée augmente indéfiniment.
- Forme indéterminée : Expression qui ne permet pas de conclure directement sur une limite, comme \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\).
- Règle de L'Hôpital : Outil mathématique pour évaluer certaines limites indéterminées en dérivant le numérateur et le dénominateur.
- Domaine de définition : Ensemble des valeurs que peut prendre une fonction.