Défis Évaluation Limites à l'Infini Exercices Corrigés
Testez vos compétences avec ces défis d'évaluation sur les limites à l'infini. Corrigés détaillés à l'appui pour vous guider !
Défis Évaluation : Limites à l'Infini - Exercices Corrigés
Considérer les fonctions suivantes et analysez leurs limites à l'infini.
Règles et méthodes pour les limites à l'infini
- Pour calculer les limites à l'infini d'un polynôme, il suffit de regarder le terme de plus haut degré.
- Pour les fractions, divisez le numérateur et le dénominateur par la puissance la plus élevée présente dans le dénominateur.
- Pour les exponentielles, rappelez-vous que \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\).
- Pour les fonctions logarithmiques, \(\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x)}{x} = 0\).
- Si la limite d'une fonction est de la forme \(\infty - \infty\), essayez de factoriser ou de combiner des fractions.
Indications pour résoudre les limites à l'infini
- Identifiez le type de fonction (polynôme, fraction, exponentielle).
- Évaluez le degré du polynôme dans le numérateur et le dénominateur.
- Pour les fractions, simplifiez si nécessaire avant de calculer la limite.
- Avis sur la croissance des fonctions exponentielles et logarithmiques.
- Utilisez des graphiques pour visualiser le comportement des fonctions à l'infini.
Solutions détaillées pour chaque question
Question 1
Calculez \(\lim_{x \to \infty} (2x^3 - 5x + 1)\).
Solution :
Nous observons le terme de plus haut degré qui est \(2x^3\). Donc :
\[\lim_{x \to \infty} (2x^3 - 5x + 1) = \infty\]
Question 2
Calculez \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{x^2 - 1}\).
Solution :
Divisons le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :
\[\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3\]
Question 3
Calculez \(\lim_{x \to \infty} e^{-x}\).
Solution :
Pour les exponentielles, nous avons :
\[\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\]
Question 4
Calculez \(\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x)}{x}\).
Solution :
Cela a comme limite :
\[\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x)}{x} = 0\]
Question 5
Calculez \(\lim_{x \to \infty} (3 + \frac{1}{x})^x\).
Solution :
Cela converge vers :
\[\lim_{x \to \infty} (3 + 0)^x = 3^x \to \infty\]
Question 6
Calculez \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{2x^2 + 3x}\).
Solution :
En divisant par \(x^2\) :
\[\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{1-0}{2+0} = \frac{1}{2}\]
Question 7
Calculez \(\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 + x}).\)
Solution :
On réécrit comme suit :
\[x - \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})} = x(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x}}) \to \lim_{x \to \infty} 0\]
Points clés à retenir sur les limites à l'infini
- Les polynômes dominent les termes constants à l'infini.
- Les fractions sont simplifiées par leur puissance maximale.
- Les limites des exponentielles sont souvent \(0\) ou \(\infty\).
- Les logarithmes croissent lentement par rapport aux polynômes.
- Utilisez Cauchy's ou L'Hôpital pour des formes indéterminées.
- Les graphiques aident à visualiser le comportement de la fonction.
- Connaître les types de croissance des différentes fonctions est crucial.
- Simplifiez autant que possible avant d'évaluer la limite.
- Rappelez-vous des limites des constantes.
- L'utilisation de séries peut aider dans certains cas.
Définitions des termes clés liés aux limites
- Limite à l'infini : Comportement d'une fonction lorsque l'argument tend vers l'infini.
- Polynôme : Une expression algébrique composée de variables et de coefficients liés par des opérations d'addition, soustraction et multiplication.
- Exponential : Une fonction où l'indépendante se trouve dans l'exposant.
- Logarithme : La fonction inverse de l'exponentielle, qui indique la puissance à laquelle une base doit être élevée pour obtenir un nombre donné.
- Indéterminée : Une forme qui ne permet pas une évaluation directe de la limite.