Exercices corrigés Limite de f(x) quand x tend vers 0
Découvrez des exercices corrigés sur les limites quand x tend vers zéro, parfaits pour pratiquer et maîtriser cette notion clé des mathématiques.
Limites de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( 0 \)
Voici un exercice sur la limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( 0 \). Répondez aux questions suivantes :- 1. Calculez la limite de \( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) quand \( x \) tend vers \( 0 \).
- 2. Montrez que \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \).
- 3. Déterminez \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \).
- 4. Quelle est la limite de \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) quand \( x \) tend vers \( 1 \) ?
- 5. Montrez que \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} \).
Règles et Méthodes pour le calcul des limites
- Utiliser les propriétés des limites.
- Appliquer les formules de dérivées si nécessaire.
- Appliquer les limites classiques comme \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \).
Indications pour résoudre les exercices
- Dessinez des graphiques pour visualiser les limites si nécessaire.
- Faites attention aux formes indéterminées comme \( \frac{0}{0} \).
- Utilisez la règle de L'Hôpital pour les limites indéterminées.
Corrigés des exercices de limites
1. Pour calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \), nous savons que cette limite est connue et vaut \( 1 \) par les propriétés des limites.
2. Pour \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \), nous pouvons appliquer la règle de L'Hôpital car nous avons la forme indéterminée \( \frac{0}{0} \). En dérivant le numérateur et le dénominateur, nous avons :\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1\]
3. Pour \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \), nous savons que cette limite est aussi connue et égale à \( 1 \).
4. Pour \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \), nous avons une forme indéterminée. Nous pouvons factoriser :\[\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)} = x + 1\]La limite devient \( 1 + 1 = 2 \) quand \( x \) tend vers \( 1 \).
5. Pour \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \), nous appliquons la règle de L'Hôpital puisque nous avons incidemment encore la forme indéterminée \( \frac{0}{0} \). La dérivée du numérateur donne \( \sin(x) \) et celle du dénominateur donne \( 2x \), d'où\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2x} = \frac{1}{2}.\]
Points clés à retenir
- Les limites peuvent être calculées directement ou par simplification.
- Les formes indéterminées nécessitent des méthodes spéciales.
- Les limites de fonctions trigonométriques sont souvent standard.
- Utilisez des dérivées en cas d'indétermination.
- Les propriétés continues des fonctions aident à évaluer les limites.
- La répétition des limites classiques est bénéfique.
- Graphiquement, la limite d'une fonction peut être vue comme la valeur de la fonction à proximité d'un point.
- Les équivalents pour \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) sont cruciaux.
- Les graphiques vous aideront à visualiser les différents comportements des limites.
- La limite d'une somme est égale à la somme des limites.
Définitions des termes utilisés
- Limite: La valeur qu'une fonction approche à mesure que l'argument approche d'un point donné.
- Indéterminée: Un cas où les règles de calcul direct ne peuvent pas être appliquées, tel que \( \frac{0}{0} \).
- Règle de L'Hôpital: Une méthode permettant de résoudre les formes indéterminées en utilisant les dérivées.