Comprendre les limites Exercices corrigés quand x tend vers 0

Mettez en pratique votre compréhension des limites avec nos exercices corrigés spécialement conçus pour x tendant vers zéro.

Comprendre les limites quand x tend vers 0 : Exercices Corrigés

Voici une série d'exercices visant à comprendre les limites des fonctions lorsque \( x \) tend vers 0. Répondez aux questions suivantes :

1. Déterminez la limite de \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) quand \( x \) tend vers 0.
2. Calculez la limite de \( g(x) = \frac{1 - \cos x}{x^2} \) lorsque \( x \) tend vers 0.
3. Que vaut la limite de \( h(x) = \frac{e^x - 1}{x} \) au voisinage de 0 ?
4. Trouvez la limite de \( k(x) = \frac{\tan x}{x} \) quand \( x \) tend vers 0.
5. Montrez que \( m(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \) a une limite lorsque \( x \) tend vers 0.
6. Déterminez la limite de \( p(x) = \frac{x^2}{\sin x} \) quand \( x \) approche 0.
7. Analysez la limite de \( q(x) = \frac{|\sin x|}{x} \) lorsque \( x \) tend vers 0.

Règles et Méthodes sur les Limites

Règle de substitution : Si \( f(x) \) est continue en \( x = c \), alors \( \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \).
Formules de limites : \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\).
Utilisation de l'Hôpital : Si \( \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} \) présente une forme indéterminée \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \), alors on peut utiliser :\(\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}\).
Graphique pour visualiser : Tracer les courbes pour comprendre le comportement des fonctions près de 0.

Indications pour Résoudre les Exercices

Pour les fonctions trigonométriques, utiliser les identités trigonométriques et les limites fondamentales.
Pour les fonctions exponentielles et logarithmiques, se référer aux limites standards : \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\).
Encadrer les limites par des inégalités (ex : \( \sin x \leq x \leq \tan x \)) peut aider à trouver les limites.
Dessiner les graphes des fonctions pour visualiser le comportement près de \( x = 0 \).

Solutions Détailées des Exercices

1. Limite de \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)

Nous savons que : \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).Par définition, la valeur approchée de \( \sin x \) est \( x \) pour \( x \) proche de 0.

2. Limite de \( g(x) = \frac{1 - \cos x}{x^2} \)

En utilisant la série de Taylor pour \( \cos x \), nous avons :\[\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \]D'où : \[1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}.\]

3. Limite de \( h(x) = \frac{e^x - 1}{x} \)

Utilisant la propriété des séries exponentielles, nous avons :\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\]

4. Limite de \( k(x) = \frac{\tan x}{x} \)

D'après la limite fondamentale des tangentes, nous savons que :\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\).

5. Limite de \( m(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \)

En utilisant le développement en série pour \( \ln(1+x) \), on a :\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\]

6. Limite de \( p(x) = \frac{x^2}{\sin x} \)

Nous savons que \( \sin x \) est approximativement égal à \( x \) à proximité de 0, alors :\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0.\]

7. Limite de \( q(x) = \frac{|\sin x|}{x} \)

Comme \( \sin x \) est borné par \( x \) lorsque \( x \to 0\), nous avons :\(\lim_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x} = 1.\)

Points Clés à Retenir

La limite de \( \frac{\sin x}{x} \) est 1.
Dérivation des fonctions à l'infini parfois nécessaire.
L'utilisation de séries de Taylor facilite le calcul des limites.
Les identités trigonométriques aident à simplifier les expressions.
Visualiser les limites avec des graphes permet de mieux comprendre.
Les formes indéterminées nécessitent l'application de la règle de l'Hôpital.
Les fonctions exponentielles ont des propriétés particulières à exploiter.
Les limites peuvent être évaluées par encadrement.
La compréhension des limites est essentielle dans l'étude du calcul différentiel.
Réévaluer les limites au travers de substitutions appropriées peut faciliter le travail.

Définitions Importantes

Limite : La valeur à laquelle une fonction approche lorsque l'argument s'approche d'un certain point.
Forme indéterminée : Une situation où l'évaluation directe d'une limite donne un résultat ambigu (ex : \( \frac{0}{0} \)).
Série de Taylor : Une expression d'une fonction en termes de ses dérivées à un point donné.
Fonction continue : Une fonction est continue à un point si la limite à ce point est égale à la valeur de la fonction.
Identités trigonométriques : Relations qui expriment des relations entre les angles et les côtés d'un triangle.