Limites de fonctions Exercices corrigés avec x → 0
Explorez des exercices corrigés sur les limites de fonctions lorsque x tend vers zéro pour perfectionner votre maîtrise des mathématiques.
Limites de fonctions lorsque x tend vers zéro
Considérons les limites des fonctions suivantes lorsque x s'approche de 0. Répondez aux questions suivantes :- 1. Calculez la limite de \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\) quand \(x \to 0\).
- 2. Trouvez \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2}\).
- 3. Calculez \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\).
- 4. Évaluez la limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\).
- 5. Montrez que \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x^2)} = 1\).
- 6. Trouvez la limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}\).
- 7. Calculez \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\).
Règles et Méthodes de Limites
- Règle de l'Hôpital : Si \(\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0\) ou \(\pm\infty\), alors \(\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}\).
- Limite des fonctions trigonométriques : \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
- Limite exponentielle : \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\).
- Propriétés des logarithmes : \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\).
Indications pour la Résolution
- Pour les problèmes impliquant \( \sin(x) \) et \( \tan(x) \), envisagez d'utiliser des séries de Taylor.- Utilisez la règle de L'Hôpital pour les formes indéterminées comme 0/0.- Souvenez-vous que \( \ln(1+x) \) peut être approximé par \( x \) lorsque \( x \) est proche de 0.- Pour les formules trigonométriques, rappelez-vous les identités fondamentales.Corrigés Détailés des Questions
1. Limite de \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)
Nous savons que :
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)
Cela peut être démontré par le développement de Taylor de \(\sin(x)\).
Fonction de Taylor de \(\sin(x)\) : \(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\)
Donc, \(\frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\), et en prenant la limite, nous avons :
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\)
2. Limite de \(\frac{1 - \cos(x)}{x^2}\)
Utilisons la série de Taylor de \(\cos(x)\) :
\(1 - \cos(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)\)
Donc, \(\frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + O(x^4)\)
La limite s'approche donc de :
\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}\)
3. Limite de \(\frac{e^x - 1}{x}\)
Par la série de Taylor, nous avons :
\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)\)
Donc, \(e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)\)
La limite devient :
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)
4. Limite de \(\frac{\tan(x)}{x}\)
La série de Taylor donne :
\(\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\)
Donc, \(\frac{\tan(x)}{x} = 1 + \frac{x^2}{3} + O(x^4)\)
Par conséquent :
\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1\)
5. Limite de \(\frac{x^2}{\sin(x^2)}\)
Nous savons que \(\sin(x^2) \approx x^2\) quand \(x^2 \to 0\).
Donc :
\(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x^2)} = 1\)
6. Limite de \(\frac{\ln(1+x)}{x}\)
Utilisant le développement de Taylor :
\(\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)\)
Par conséquent :
\(\frac{\ln(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2)\)
Donc :
\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)
7. Limite de \(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\)
En rationalisant :
\(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}\)
Donc :
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{1}{2}\)
Points Clés à Retenir
- La limite de \( \frac{\sin(x)}{x} \) est 1.
- Rappelez-vous des limites des fonctions trigonométriques.
- Séries de Taylor sont utiles pour approcher les limites.
- Rappeler la règle de l'Hôpital pour les indéterminations.
- Limite de \( \frac{e^x - 1}{x} \) et \( \frac{\ln(1+x)}{x} \) est 1.
- Rationaliser lorsque vous avez des racines.
- Connaître les expressions limites pour les logarithmes.
- Utilisez des développements pour des approches précises.
- Pratiquez avec différents types de fonctions.
- Faites attention aux signes et aux conditions des limites.
Définitions Importantes
- Limite : La valeur que prend une fonction lorsque l'argument tend vers une certaine valeur.
- Indétermination : Une forme de limite qui ne peut pas être déterminée directement (par exemple, \( \frac{0}{0} \)).
- Série de Taylor : Une représentation d'une fonction en une somme infinie de termes calculés à partir des valeurs de ses dérivées en un point donné.
- Rationaliser : Le processus de multiplication par un nombre qui transforme une fraction où une racine apparaît dans le dénominateur.