Limites Exercices corrigés pour maîtriser x → 0

Maîtrisez les limites en résolvant nos exercices corrigés spécialement conçus pour x tendant vers zéro.

Exercices corrigés sur les limites lorsque x tend vers 0

Dans cet exercice, nous allons examiner différentes limites lorsque \( x \) approche 0. Voici les questions que nous allons résoudre :

1. Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)
2. Trouver \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \)
3. Déterminer \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)
4. Évaluer \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \)
5. Quelle est la limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\tan(x)} \) ?
6. Trouver \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \)
7. Calculer \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(2x)} \)

Règles et Formules des Limites

Règle fondamentale : Si \( f(x) \) et \( g(x) \) sont continues à \( x = a \), alors \( \lim_{x \to a} f(x) + g(x) = f(a) + g(a) \).
Règle des produits : \( \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \).
Règle des quotients : \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \) si \( g(a) \neq 0 \).
Limites des fonctions trigonométriques : \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \) et \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \).

Indications sur les Limites

Utiliser les développements limités ou formules de Taylor pour les calculs près de 0.
Essayer de simplifier les expressions avant de calculer la limite.
Se rappeler des limites classiques liées aux fonctions exponentielles et logarithmiques.

graph TD;    A[Calculer la limite] --> B[Utiliser les règles de limites];    B --> C{Est-ce une forme indéterminée?};    C -->|Oui| D[Appliquer L'Hôpital];    C -->|Non| E[Substituer directement];

Solutions détaillées des Exercices

1. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)

Nous savons que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \), basé sur une des limites fondamentales.

2. \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \)

Utilisons l'identité : \( 1 - \cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \). Donc :

\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \left(\frac{x}{2}\right)^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.\]

3. \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)

En utilisant la définition de la dérivée de \( e^x \) en 0 : \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 1.\]

4. \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} \)

Utilisons \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} = 1 \) :\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{x}{\sin(x)} = 0.\]

5. \( \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\tan(x)} \)

Comme \( \tan(x) \) se comporte comme \( x \) à proximité de 0 :\[\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\tan(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x} = \lim_{x \to 0} x^2 = 0.\]

6. \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \)

En utilisant la dérivée de \( \ln \) en 1, on obtient :\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\]

7. \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(2x)} \)

En utilisant la limite de \( \sin \) :\[\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sin(x)} = \frac{1}{2}.\]

Points clés à retenir sur les Limites

Les limites peuvent souvent être simplifiées par des substitutions.
Utiliser des limites connues et identités trigonométriques pour faciliter les calculs.
L'Hôpital est utile pour les formes indéterminées.
Les limites de fonctions exponentielles et logarithmiques sont fondamentales.
Les limites sont des concepts essentiels pour le calcul différentiel.
La continuité est une condition clé pour beaucoup de théorèmes de limites.
Il est important de bien comprendre les concepts de base des limites.
Construire une intuition graphique aide à comprendre le comportement des fonctions.
Les développements de Taylor sont un outil puissant pour évaluer les limites.
Pratiquer avec divers exemples améliore la maîtrise des limites.

Définitions des Termes Utilisés

Limite : Valeur qu'une fonction \( f(x) \) approche lorsque \( x \) s'approche d'un certain point.
Forme indéterminée : Expression qui ne permet pas de déterminer une limite directement, comme \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \).
Continuité : Une fonction est continue si la limite en un point est égale à la valeur de la fonction en ce point.
Développement limité : Approximation d'une fonction par un polynôme autour d'un point donné.
Identités trigonométriques : Équations qui relient différentes fonctions trigonométriques.