Exercices corrigés Limites à gauche et à droite faciles
Découvrez des exercices corrigés simples sur les limites à gauche et à droite. Parfait pour renforcer vos bases en mathématiques au lycée et au collège.
Exercices Corrigés sur les Limites à Gauche et à Droite
Voici un ensemble d'exercices conçus pour aider les étudiants à comprendre le concept de limites à gauche et à droite en mathématiques. Les questions suivantes vous guideront pour pratiquer ce sujet essentiel.Règles à Retenir pour les Limites
- La limite à gauche d'une fonction f(x) lorsque x approche a est notée :
\( \lim_{{x \to a^-}} f(x) \)
- La limite à droite d'une fonction f(x) lorsque x approche a est notée :
\( \lim_{{x \to a^+}} f(x) \)
- Si
\( \lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x) \)
, alors la limite en a existe et est égale à cette valeur. - Les limites peuvent être calculées analytiquement ou graphiquement.
Indications pour Résoudre les Exercices
- Utilisez des graphiques pour visualiser les comportements à gauche et à droite.
- Identifiez les points de discontinuité potentielles.
- Calculez d'abord les limites à gauche et à droite séparément.
- Vérifiez si les valeurs approchées coïncident pour conclure.
Corrections Détaillées des Questions
Question 1
Déterminez \( \lim_{{x \to 2^-}} (3x + 1) \).
Solution :
- Remplacez la valeur :
\( 3(2) + 1 = 7 \)
- Donc,
\( \lim_{{x \to 2^-}} (3x + 1) = 7 \)
Question 2
Déterminez \( \lim_{{x \to 2^+}} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \).
Solution :
- On remarque que l'expression est indéterminée de la forme
\( \frac{0}{0} \)
en x = 2. - Factorisations donnent :
\( \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \)
- On simplifie l'expression pour x ≠ 2 :
\( x + 2 \)
- Donc :
\( \lim_{{x \to 2^+}} (x + 2) = 4 \)
Question 3
Quel est \( \lim_{{x \to 3}} f(x) \) pour
\( f(x) = \begin{cases}x-1 & \text{si } x < 3 \\3x^2 & \text{si } x \geq 3\end{cases} \)
Solution :
- Limite à gauche : \( \lim_{{x \to 3^-}} f(x) = 3 - 1 = 2 \)
- Limite à droite : \( \lim_{{x \to 3^+}} f(x) = 3(3^2) = 27 \)
- Les limites ne coincident pas, donc la limite globale n'existe pas.
Question 4
Calculez \( \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x} \).
Solution :
- Lorsque x approcher 0 par la droite, \( \frac{1}{x} \) tend vers +∞.
- Donc, \( \lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x} = +\infty \).
Question 5
Pouvez-vous déterminer \( \lim_{{x \to 1^-}} \sqrt{x} \) ?
Solution :
- Remplacer x par 1 : \( \sqrt{1} = 1 \).
- Donc, \( \lim_{{x \to 1^-}} \sqrt{x} = 1 \).
Question 6
En utilisant le graphique, que pouvez-vous dire de \( \lim_{{x \to 1}} f(x) \) pour
\( f(x) = \begin{cases}x^2 & \text{si } x < 1 \\3 & \text{si } x = 1 \\2x + 1 & \text{si } x > 1\end{cases} \)
Solution :
- Limite à gauche : \( \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 1^2 = 1 \)
- Limite à droite : \( \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 2(1) + 1 = 3 \)
- Les limites ne coïncident pas ainsi la limite n'existe pas
Points Clés à Retenir
- Les limites peuvent varier à gauche et à droite.
- Il est essentiel de vérifier les deux limites.
- Utiliser la factorisation aide à résoudre des indéterminations.
- Les graphiques facilitent la compréhension.
- Vérifiez la continuité aux points critiques.
- Les limites infinies indiquent un comportement asymptotique.
- Les calculs des limites doivent être systématiques.
- Ne pas oublier que toutes les limites ne sont pas définies.
- Pratiquer de divers types d'exemples est crucial.
- Comprendre les discontinuités améliore la capacité d'analyse.
Définitions Essentielles
- Limite : Valeur qu'une fonction approche lorsqu'un argument se rapproche d'une certaine valeur.
- Limite à gauche : Limite calculée en approchant par des valeurs inférieures.
- Limite à droite : Limite calculée en approchant par des valeurs supérieures.
- Indétermination : Situation où les règles classiques ne peuvent être appliquées directement pour trouver une limite.
- Discontinuité : Point où une fonction n'est pas continue.
