Exercices corrigés avancés Limites à gauche et à droite

Développez vos compétences avec ces exercices corrigés avancés sur les limites à gauche et à droite, idéal pour les élèves de lycée et de collège.

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Exercices avancés sur les limites à gauche et à droite

Dans cet exercice, nous allons explorer les concepts de limites à gauche et à droite à travers quatre questions détaillées.

Règles et méthodes pour les limites

Limite à gauche : La limite d'une fonction f(x) quand x approche a par la gauche, notée $\lim (x \leftarrow a) f (x) = L$ .
Limite à droite : La limite de f(x) quand x approche a par la droite, notée $\lim (x \to a) f (x) = M$ .
Continuité : La fonction f est continue en a si $\lim (x \to a) f (x) = f (a)$ .

Indications pour résoudre les limites

Utilisez des tableaux de signes pour évaluer les limites à gauche et à droite.
Identifiez le comportement de la fonction près du point d’intérêt.
Examiner les formes indéterminées qui peuvent se produire.

Solutions détaillées des questions

Question 1 :

Déterminez $\lim (x \leftarrow 2) f (x)$ pour $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Solution :

Nous écrivons :

La fonction $f(x)$ a une forme indéterminée quand $x = 2$ . Alors factorisons :

$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ (pour $x \to 2$ ,

$const ctx = document.getElementById('question1Chart').getContext('2d'); const chart1 = new Chart(ctx, { type: 'line', data: { labels: [0, 1, 2, 3, 4], datasets: [{ label: 'f(x)', data: [(-4), (0), (4), (8), (12)], borderColor: 'rgba(75, 192, 192, 1)', fill: false, }] }, options: { scales: { y: { beginAtZero: true } } } });$

Question 2 :

Calculez $\lim (x \to 3) g (x)$ pour $g(x) = \frac{1}{x - 3}$ .

Solution :

La fonction s'approche de $\lim_{x \to 1^-} h(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 - 2x + 1)$ .

Solution :

Calculons :

Pour $h(x) \rightarrow 0$ .

Question 4 :

Pour $k(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x < 0 \\ 2 & \text{si } x = 0 \\ 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}$ , calculez $lim_{x \to 0^-} k(x),$ et $lim_{x \to 0^+} k(x)$ .

Solution :

$lim_{x \to 0^+} k(x) = 3$ .

Points clés à retenir

Les limites peuvent être à gauche ou à droite.
Les formes indéterminées nécessitent une analyse plus approfondie.
Un tableau de signe aide à mieux comprendre le comportement de la fonction.
La continuité dépend des limites des deux côtés.
Utilisation de la définition formelle lorsque c'est nécessaire.
Les comportements asymptotiques doivent être identifiés.
Facteuriser peut souvent simplifier les calculs de limites.
Comprendre les fonctions par morceaux est important.
Les limites infinies indiquent un comportement asymptotique.
Visualiser les fonctions aide à saisir les concepts de limites.

Définitions importantes

Limite : Valeur qu'une fonction tend à atteindre près d'un point donné.
Limite à gauche : Limite prise par une direction venant de la gauche.
Limite à droite : Limite prise par une direction venant de la droite.
Continu : Une fonction sans sauts ou interruptions.
Indéterminée : Quand les limites ne peuvent pas être évaluées directement.
Asymptote : Ligne que la fonction approche mais ne croise jamais.
Tableau de signes : Outil pour étudier le signe d'une fonction.
Résultat limite : Valeur à laquelle une fonction converge.
Équivalence : Quand des limites de deux fonctions sont les mêmes.
Comportement asymptotique : Comment la fonction se comporte à l'infini.

Exercices corrigés avancés Limites à gauche et à droite

Exercices avancés sur les limites à gauche et à droite

Règles et méthodes pour les limites

Indications pour résoudre les limites

Solutions détaillées des questions

Question 1 :

Question 2 :

Question 4 :

Points clés à retenir

Définitions importantes

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