Limites à gauche et à droite Exercices corrigés pour révisions
Préparez-vous efficacement avec ces exercices corrigés sur les limites à gauche et à droite, parfaits pour vos révisions en mathématiques au lycée et collège.
Limites à gauche et à droite : Exercices Corrigés
Dans cet exercice, nous allons explorer les limites à gauche et à droite à travers une série de questions. Les exercices suivants permettront de réviser et d'appliquer les concepts associés aux limites.Règles concernant les limites à gauche et à droite
- La limite à gauche d'une fonction \(f(x)\) en un point \(a\) est notée \(\lim_{x \to a^-} f(x)\).
- La limite à droite d'une fonction \(f(x)\) en un point \(a\) est notée \(\lim_{x \to a^+} f(x)\).
- Si \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)\), alors la limite \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe.
- Si \(\lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)\), alors la limite \(\lim_{x \to a} f(x)\) n'existe pas.
Indications pour les exercices
- Analyser le comportement de la fonction lorsque \(x\) approche \(a\) par la gauche et par la droite.
- Utiliser des valeurs de test proches de \(a\) pour évaluer la fonction.
- Compléter les tableaux de valeurs si nécessaire pour visualiser les limites.
Solutions détaillées des exercices
Exercice 1
Question : Calculez \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 4)\) et \(\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4)\).
Solution : Pour trouver \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 4)\), nous calculons les valeurs de \(f(x)\) lorsque \(x\) approche 2 par la gauche.
\[\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0.\]
Pour \(\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4)\), calculons de même :
\[\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 0.\]
La limite existe car les deux limites sont égales.
Exercice 2
Question : Que peut-on dire de \(\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1}\) et \(\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1}\) ?
Solution : Analysons les limites :
\[\lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} \to -\infty\]
et
\[\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} \to +\infty.\]
Les limites sont différentes, donc la limite globale n'existe pas.
Exercice 3
Question : Soit \(f(x) = \sqrt{x}\). Calculez les limites à gauche et à droite en \(x = 0\).
Solution : On a :
\[\lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} \text{ est indéfini, car \(\sqrt{x}\) est réel seulement pour \(x \geq 0\)}.\]
Mais,
\[\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0.\]
La limite à gauche n'est pas définie, donc la limite globale n'existe pas.
Exercice 4
Question : Calculez \(\lim_{x \to 3} (x - 3) \cdot (x + 1)\) à gauche et à droite.
Solution : Pour les deux limites :
\[\lim_{x \to 3^-} (x - 3)(x + 1) = (3 - 3)(3 + 1) = 0\]
\[\lim_{x \to 3^+} (x - 3)(x + 1) = (3 - 3)(3 + 1) = 0\]
Donc, la limite existe et est égale à 0.
Exercice 5
Question : Étudiez \(\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}\).
Solution : On factorise :
\[\lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4}\]\text{Pour } \( x \neq 4\), on peut simplifier :
\[\lim_{x \to 4} (x + 4) = 8.\]
Exercice 6
Question : Que se passe-t-il avec \(\lim_{x \to 5^-} \sin\left(\frac{1}{x - 5}\right)\) ?
Solution : La fonction oscille entre -1 et 1, donc la limite n'existe pas.
Exercice 7
Question : Étudiez \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x}\).
Solution : En utilisant la règle de l'Hôpital :
\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2(x)}{1} = 1.\]
Points Clés à Retenir
- Les limites à gauche et à droite sont fondamentales pour déterminer la continuité.
- Utiliser des valeurs d'approche pour évaluer les limites.
- Les indéterminations doivent être étudiées avec soin.
- La factorisation et l'utilisation de formules peuvent simplifier les calculs.
- La règle de l'Hôpital est utile pour les formes indéterminées.
- Les limites infinies indiquent une discontinuité.
- Les fonctions peuvent se comporter différemment en fonction de l'approche.
- Les graphiques aident à visualiser les comportements des limites.
- Les limites doivent être examinées séparément à gauche et à droite.
- Prendre des notes sur la différence entre limites existantes et non existantes.
Définitions Importantes
- Limite : Le comportement d'une fonction lorsque \(x\) approche d'une valeur donnée.
- Limite à gauche : Limite évaluée lorsque \(x\) approche la valeur par des valeurs inférieures.
- Limite à droite : Limite évaluée lorsque \(x\) approche la valeur par des valeurs supérieures.
- Indétermination : Situation où les limites ne peuvent pas être évaluées directement.
- Règle de l'Hôpital : Technique pour évaluer les limites des formes indéterminées.
- Sécuriser : Utilisation de calculs pour garantir que des sous-parties sont continues et bien comportées.
- Fonction continue : Fonction où la limite globale existe et égale à la valeur de la fonction.
- Oscillation : Comportement d'une fonction qui fluctue sans se stabiliser.
- Graphique : Représentation visuelle des données mathématiques.
- Valeurs approchantes : Valeurs utilisées pour estimer ou jongler avec une limite.