Exercices simples sur l'évaluation des polynômes

Des exercices simples et corrigés pour maîtriser rapidement l'évaluation des polynômes. Idéal pour renforcer vos compétences mathématiques de niveau collège.

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Exercices simples sur l'évaluation des polynômes

Évaluez le polynôme donné pour différentes valeurs de \( x \). Voici les questions :
  1. Évaluez le polynôme \( P(x) = 2x^2 + 3x - 5 \) pour \( x = 1 \).
  2. Évaluez le polynôme \( P(x) = -x^3 + 4x^2 + 2 \) pour \( x = 2 \).
  3. Évaluez le polynôme \( Q(x) = x^4 - 2x + 7 \) pour \( x = -1 \).
  4. Pour quel \( x \) le polynôme \( R(x) = x^2 + 3x + 2 \) est-il égal à \( 0 \) ?
  5. Évaluez le polynôme \( S(x) = 5x^3 - x^2 + 6 \) pour \( x = 0 \).
  6. Évaluez le polynôme \( T(x) = 3x^2 - 4x + 1 \) pour \( x = -2 \).
  7. Quelle est la valeur maximale de \( U(x) = -2x^2 + 8x - 6 \) ?
  8. Déterminez les racines du polynôme \( V(x) = x^2 - 5x + 6 \).

Règles et Formules pour l'évaluation des polynômes

  • Un polynôme est une expression de la forme \( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \).
  • Pour évaluer un polynôme, substituez la valeur de \( x \) dans l'expression.
  • Pour trouver les racines d’un polynôme \( ax^2 + bx + c = 0 \), utilisez la formule quadratique : \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
  • Pour \( P(x) = ax^n + bx^{n-1} + ... + c \), le degré \( n \) est la puissance la plus élevée.

Indications pour évaluer les polynômes

  • Commencez par identifier le type de polynôme.
  • Remplacez \( x \) par la valeur donnée.
  • Simplifiez soigneusement chaque étape de calcul.
  • Pour les polynômes quadratiques, vérifiez le discriminant pour les racines.
graph TD; A[Évaluer P(x)] --> B[Substituer la valeur de x] B --> C[Calculer le polynôme] C --> D[Résultat]

Corrigés des exercices

  1. Pour évaluer \( P(1) = 2(1)^2 + 3(1) - 5 \):

    Calcul: \( P(1) = 2(1) + 3(1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0 \).

  2. Pour \( P(2) = -2^3 + 4(2^2) + 2 \):

    Calcul: \( P(2) = -8 + 16 + 2 = 10 \).

  3. Pour \( Q(-1) = (-1)^4 - 2(-1) + 7 \):

    Calcul: \( Q(-1) = 1 + 2 + 7 = 10 \).

  4. Pour \( R(x) = 0 \), résolution de \( x^2 + 3x + 2 = 0 \):

    Utilisez factorisation : \( (x + 1)(x + 2) = 0 \) donc \( x = -1 \) ou \( x = -2 \).

  5. Pour \( S(0) = 5(0)^3 - (0)^2 + 6 \):

    Calcul: \( S(0) = 0 - 0 + 6 = 6 \).

  6. Pour \( T(-2) = 3(-2)^2 - 4(-2) + 1 \):

    Calcul: \( T(-2) = 3(4) + 8 + 1 = 12 + 8 + 1 = 21 \).

  7. Pour \( U(x) = 0 \): emplois de \( -2x^2 + 8x - 6 = 0 \) : \( x = \frac{-8 \pm \sqrt{(8)^2 - 4(-2)(-6)}}{2(-2)} = 4 \) est le maximum.

  8. Pour \( V(x) = 0 \), factorisation de \( x^2 - 5x + 6 = 0 \): \( (x-2)(x-3) = 0 \) donc \( x = 2 \) ou \( x = 3 \).

Points Clés à Retenir

  • Les polynômes peuvent être d'ordre supérieur à 1.
  • Substituez toujours la valeur de \( x \) soigneusement.
  • Faites attention aux signes lors de l'évaluation.
  • Utilisez la formule quadratique pour les polynômes de degré 2.
  • Identifiez les racines en factorisant ou en utilisant la formule.
  • L'ordre du polynôme détermine le nombre maximal de racines.
  • Un polynôme de degré \( n \) a au plus \( n \) racines.
  • Simplifiez votre calcul étape par étape.
  • Tracez des graphiques pour visualiser les polynômes.
  • Révisez bien les formes de polynômes standard.

Définitions des Termes Utilisés

  • Polynôme: Une expression mathématique de la forme \( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \).
  • Évaluation: Le processus de substitution des valeurs dans un polynôme.
  • Racine: Valeur pour laquelle \( P(x) = 0 \).
  • Degré d'un polynôme: La plus grande puissance de \( x \) dans le polynôme.
  • Discriminant: \( D = b^2 - 4ac \), utilisé pour déterminer les racines d'un polynôme quadratique.

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