Exercises intermédiaires sur l'évaluation des polynômes
Progressez avec des exercices intermédiaires dédiés à l'évaluation des polynômes, conçus pour affiner votre savoir-faire en mathématiques au collège et lycée.
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Évaluation des polynômes : Exercices intermédiaires
Pour cet exercice, nous allons évaluer des polynômes à différents points. Un polynôme est une expression mathématique de la forme :\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \]où \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0\) sont des coefficients.Voici les questions :1. Évaluez le polynôme \(P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 5\) au point \(x = 2\).2. Trouvez les valeurs de \(x\) pour lesquelles le polynôme \(Q(x) = x^2 - 3x + 2\) est égal à zéro.3. Calculez la valeur de \(R(x) = -x^4 + 2x^3 + 3\) pour \(x = -1\).4. Représentez graphiquement le polynôme \(S(x) = x^2 - 4\) et indiquez les points d'intersection avec l'axe des abscisses.Règles d'évaluation des polynômes
- Substituez la valeur donnée à \(x\) dans l'expression du polynôme.
- Utilisez les propriétés des exposants pour évaluer les termes.
- Pour trouver les racines, utilisez la formule quadratique ou factorisez le polynôme.
- Pour les graphiques, identifier les points d'intersection avec les axes.
Indications pour l'évaluation des polynômes
- Pour évaluer \(P(x)\), faites un tableau avec les valeurs de \(x\) et \(P(x)\).
- Pour \(Q(x)\), testez les valeurs de \(x\) jusqu'à ce que \(Q(x) = 0\).
- Pour les graphiques, utilisez un tracé pour visualiser les polynômes.
Corrections détaillées des questions
Question 1 :
Évaluons \(P(2)\) :\[ P(2) = 2(2)^3 - 4(2)^2 + 3(2) - 5 \]\[ = 2(8) - 4(4) + 6 - 5 \]\[ = 16 - 16 + 6 - 5 = 1 \]\]
Question 2 :
Trouvons \(Q(x) = 0\) :\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]Facteur :\[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]Donc, \(x = 1\) ou \(x = 2\).
Question 3 :
Calculez \(R(-1)\) :\[ R(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^3 + 3 \]\[ = -1 - 2 + 3 = 0 \]\]
Question 4 :
Pour \(S(x)\), le polynôme est \(x^2 - 4 = 0\) qui factorise à \((x - 2)(x + 2) = 0\). Les intersections :\[ x = -2, x = 2 \]Dessiner le graphique :Points clés à retenir
- Un polynôme peut être évalué par substitution directe.
- Les racines peuvent souvent être trouvées par des méthodes de factorisation.
- Utiliser la formule quadratique pour des polynômes du deuxième degré.
- Une représentation graphique aide à visualiser les solutions.
- Les valeurs de \(x\) peuvent affecter les résultats du polynôme.
- Les coefficients influencent la forme du graphique.
- Les points d'intersection indiquent les racines des polynômes.
- Les polynômes ont des degrés qui déterminent leur comportement à l'infini.
- Valider les réponses par des méthodes alternatives si possible.
- Prendre des notes lors de l'évaluation des polynômes est bénéfique.
Définitions importantes
- Polynôme : Expression mathématique composée de variables et de coefficients.
- Évaluation : Processus de substitution d'une valeur dans une expression polynomiale.
- Racines : Valeurs de \(x\) pour lesquelles le polynôme est égal à zéro.
- Coefficient : Nombre multiplié par une variable dans un terme de polynôme.
- Facteur : Terme qui multiplie un autre terme.
Préparation aux examens Évaluation de polynômes