Préparation aux examens Évaluation de polynômes
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Préparation aux examens : Évaluation de polynômes
Dans cet exercice, nous allons évaluer différentes expressions de polynômes. Vous devrez répondre aux questions suivantes :1. Évaluez le polynôme \( P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \) pour \( x = 2 \).2. Évaluez le polynôme \( Q(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \) pour \( x = 1 \).3. Trouvez les valeurs de \( x \) qui satisfont l'équation \( P(x) = 0 \).4. Calculez \( R(-1) \) pour le polynôme \( R(x) = 3x^2 + 4x + 1 \).5. Trouvez les racines réelles du polynôme \( S(x) = x^2 - 5x + 6 \).6. Tracez le graphique de la fonction polynomiale \( T(x) = x^2 - 3x + 2 \).7. Évaluez \( U(x) = 4x^3 - 2x + 10 \) pour \( x = -2 \).8. Déterminez les points d'intersection de \( V(x) = x^2 - 4 \) avec l'axe des abscisses.Règles pour l'évaluation des polynômes
- Pour évaluer un polynôme, remplacez chaque variable par sa valeur donnée.
- Utilisez l'ordre des opérations : multiplications et divisions avant additions et soustractions.
- Pour les polynômes quadratiques \( ax^2 + bx + c \), utilisez la formule quadratique pour trouver les racines \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
Indications utiles pour l'évaluation de polynômes
- Identifiez le degré du polynôme pour mieux comprendre son comportement.
- Pour les racines, visualisez le graphique pour localiser les intersections.
- Utilisez des tableaux de valeurs pour des polynômes simples.
Solutions détaillées des questions
1. Évaluation de \( P(x) \) pour \( x = 2 \):
\( P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 2 - 5 = 2(8) - 3(4) + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1 \)
2. Évaluation de \( Q(x) \) pour \( x = 1 \):
\( Q(1) = (1)^4 - 4(1)^3 + 6(1)^2 - 4(1) + 1 = 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0 \)
3. Résoudre \( P(x) = 0 \): Utilisez des méthodes de factorisation ou la formule quadratique.
4. Évaluation de \( R(-1) \):
\( R(-1) = 3(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 3(1) - 4 + 1 = 0 \)
5. Racines réelles de \( S(x) \):
Utilisez la formule quadratique : \( x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \).
Les racines sont \( x = 3 \) et \( x = 2 \).
6. Trace du graphique de \( T(x) \):
Utilisez le code suivant pour générer le graphique.
7. Évaluation de \( U(-2) \):
\( U(-2) = 4(-2)^3 - 2(-2) + 10 = 4(-8) + 4 + 10 = -32 + 14 = -18 \)
8. Points d'intersection de \( V(x) \) avec l'axe des abscisses:
Résolvez \( V(x) = 0 \):
\( x^2 - 4 = 0 \) donc \( x = 2 \) et \( x = -2 \).
Points clés à retenir
- Comprendre le degré d'un polynôme aide à prévoir son comportement.
- La factorisation peut simplifier l'évaluation des polynômes.
- La formule quadratique est essentielle pour les polynômes de degré 2.
- Les graphiques aident à visualiser les racines et les comportements des polynômes.
- Les tableaux de valeurs facilitent l'évaluation par substitution.
- Les coefficients influencent la forme du graphique du polynôme.
- Les polynômes peuvent avoir plusieurs racines réelles et complexes.
- L'utilisation d'outils numériques peut faciliter ces évaluations.
- Identifier les points critiques aide à comprendre le changement de direction du graphique.
- Les opérations d’addition et de multiplication sont commutatives et associatives, ce qui simplifie les calculs.
Définitions des termes utilisés
- Polynôme : expression algébrique composée de variables et de coefficients, combinées avec des opérations d'addition, de soustraction et de multiplication.
- Racine d'un polynôme : valeur pour laquelle le polynôme s'évalue à zéro.
- Évaluation d'un polynôme : processus de substitution de la variable par un nombre pour trouver la valeur du polynôme.
- Formule quadratique : méthode pour résoudre les équations quadratiques de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \).
- Graphique d'un polynôme : représentation visuelle de l'évaluation du polynôme sur un plan cartésien.
- Degré d'un polynôme : l'exposant le plus élevé lorsqu'il est rédigé sous forme classique.
- Coéfficient : nombre qui multiplie la variable dans un terme polynomial.
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