L'évaluation de polynômes en situation réelle
Appliquez vos connaissances théoriques à travers des exercices pratiques portant sur l'évaluation de polynômes dans des situations réelles, pour une meilleure adaptation académique.
Exercice d'évaluation de polynômes en situation réelle
Dans cet exercice, vous allez évaluer un polynôme en fonction de différentes situations réelles. Répondez aux questions suivantes :- 1. Calculez la valeur de \( P(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) pour \( x = 2 \).
- 2. Trouvez la valeur de \( P(-1) \) pour le même polynôme.
- 3. Quelle est la valeur de \( P(0) \) ?
- 4. Si \( P(x) \) représente le profit d'une entreprise en fonction du nombre de produits vendus, quel est le profit lorsque 3 produits sont vendus ?
- 5. Quel nombre de produits faut-il vendre pour obtenir un profit de 0 ?
- 6. Tracez le graphique de \( P(x) \) pour \( x \) dans l'intervalle \([-3, 3]\).
- 7. Discutez de l'importance de l'évaluation des polynômes dans les situations réelles.
Règles et méthodes pour évaluer un polynôme
- La notation d'un polynôme est généralement de la forme \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 \).
- Pour évaluer le polynôme, remplacez \( x \) par la valeur donnée et simplifiez.
- Les racines du polynôme sont les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( P(x) = 0 \).
- Pour tracer un polynôme, calculez des points de valeur en choisissant différentes valeurs de \( x \) et calculez \( P(x) \).
Indications pour résoudre les exercices
- Utilisez une calculatrice pour effectuer les calculs complexes.
- Tracez des points sur du papier millimétré pour visualiser le polynôme.
- Pour résoudre \( P(x) = 0 \), utilisez des méthodes comme la factorisation ou la formule quadratique.
- Vérifiez votre travail étape par étape pour éviter les erreurs de calcul.
Solutions détaillées des questions
1. Pour \( P(2) = 3(2^2) + 2(2) - 5 \):\[P(2) = 3(4) + 4 - 5 = 12 + 4 - 5 = 11\]
2. Pour \( P(-1) = 3(-1^2) + 2(-1) - 5 \):\[P(-1) = 3(1) - 2 - 5 = 3 - 2 - 5 = -4\]
3. Pour \( P(0) = 3(0^2) + 2(0) - 5 \):\[P(0) = 0 + 0 - 5 = -5\]
4. Pour \( P(3) = 3(3^2) + 2(3) - 5 \):\[P(3) = 3(9) + 6 - 5 = 27 + 6 - 5 = 28\]
5. Pour \( P(x) = 0 \):Résolvons \( 3x^2 + 2x - 5 = 0 \) en utilisant la formule quadratique \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) où \( a = 3, b = 2, c = -5 \):\[x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-5)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{-2 \pm 8}{6}\]Les solutions sont \( x_1 = 1 \) et \( x_2 = -\frac{5}{3} \).
6. Le graphique de \( P(x) \) pour \( x \in [-3, 3] \) est tracé ci-dessous.
7. L'évaluation des polynômes est cruciale pour modéliser des situations pratiques comme les profits d'une entreprise, les trajectoires de projet, et bien d'autres applications réelles.
Points clés à retenir sur l'évaluation des polynômes
- Les polynômes peuvent modéliser des situations réelles.
- Évaluer un polynôme consiste à remplacer \( x \) par une valeur donnée.
- Les racines d'un polynôme sont les valeurs où le polynôme est égal à zéro.
- Une bonne compréhension des polynômes aide à résoudre des problèmes complexes.
- Utiliser la formule quadratique peut aider à trouver les racines facilement.
- Les graphiques permettent de visualiser le comportement d'un polynôme.
- Les polynômes sont utilisés dans de nombreux domaines comme l'économie et les sciences.
- Les erreurs de calcul peuvent être évitées par une vérification minutieuse.
- La pratique régulière aide à maîtriser l'évaluation des polynômes.
- Les polynômes peuvent être d'ordre supérieur, nécessitant des méthodes avancées pour l'évaluation.
Définitions des termes utilisés
- Polynôme : Expression algébrique formée par une somme de termes, chacun ayant la forme \( ax^n \), où \( a \) est un coefficient et \( n \) un entier non négatif.
- Évaluation : Processus de substitution d'une valeur dans une expression pour obtenir un résultat numérique.
- Racine d'un polynôme : Valeur de \( x \) pour laquelle le polynôme est égal à zéro.
- Graphique : Représentation visuelle d'une fonction ou d'un rapport entre deux variables.
- Formule quadratique : Formule utilisée pour trouver les racines d'un polynôme quadratique de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \).
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