Comprendre les polynômes exercices corrigés détaillés

Plongez dans la définition des polynômes avec nos exercices corrigés détaillés et enrichissez vos connaissances en mathématiques.

Comprendre les polynômes : Exercices corrigés détaillés

Voici un exercice pour approfondir votre compréhension des polynômes. Répondez aux questions suivantes :

1. Définir ce qu'est un polynôme.
2. Identifier le degré du polynôme suivant : \( 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \).
3. Résoudre l'équation \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) en utilisant la formule quadratique.
4. Factoriser le polynôme \( x^2 - 5x + 6 \).
5. Tracer le graphique du polynôme \( y = x^2 - 4 \) sur l'intervalle [-3, 3].

Règles concernant les polynômes

Un polynôme est une expression de la forme \( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \), où \( a_i \) sont des coefficients réels.
Le degré d'un polynôme est le plus grand exposant de \( x \) dans l'expression.
Les racines d'un polynôme sont les valeurs de \( x \) qui rendent le polynôme égal à zéro.
La formule quadratique pour résoudre \( ax^2 + bx + c = 0 \) est donnée par: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Indications pour résoudre les exercices

Pensez à écrire la forme générale d'un polynôme pour la définition.
Pour le degré, examinez chaque terme du polynôme et identifiez celui avec le plus grand exposant.
Utilisez la formule quadratique pour résoudre des polynômes de degré 2.
Pour factoriser, cherchez des racines ou utilisez la méthode de complétion du carré.

Corrigés détaillés des exercices

1. Définir ce qu'est un polynôme.

Un polynôme est une expression mathématique qui est la somme de plusieurs termes, où chaque terme est constitué d'un coefficient multiplié par une variable élevée à une puissance non négative. Par exemple, \( 3x^2 + 2x + 1 \) est un polynôme.

2. Identifier le degré du polynôme suivant : \( 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \).

Le degré d'un polynôme est déterminé par le terme avec le plus grand exposant. Ici, le terme \( 4x^3 \) a l'exposant 3, donc le degré du polynôme est 3.

3. Résoudre l'équation \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) en utilisant la formule quadratique.

Nous avons \( a = 2, b = -3, c = 1 \).

Appliquons la formule quadratique :

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Calculons le discriminant :\[b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\]

Donc :\[x = \frac{3 \pm 1}{4}\]

Les solutions sont donc :\[x_1 = 1 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{1}{2}\]

4. Factoriser le polynôme \( x^2 - 5x + 6 \).

Cherchons deux nombres dont le produit est 6 et la somme est -5. Ces nombres sont -2 et -3.

Donc, on peut écrire le polynôme sous la forme :\[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\]

5. Tracer le graphique du polynôme \( y = x^2 - 4 \) sur l'intervalle [-3, 3].

Points clés à retenir sur les polynômes

Un polynôme est formé de variables, de puissances et de coefficients.
Le degré est crucial pour déterminer le comportement du polynôme.
Les solutions d'un polynôme déterminent ses racines.
La factorisation simplifie les polynômes pour résoudre des équations.
Les graphiques des polynômes aident à visualiser les solutions.
La formule quadratique est essentielle pour les polynômes de degré 2.
Les polynômes peuvent être utilisés pour modéliser diverses situations.
Les coefficients influencent la forme et le positionnement du graphique.
Les racines peuvent être réelles ou complexes.
Les polynômes sont fondamentaux en algèbre et en analyse.

Définitions des termes utilisés

Polynôme : Une expression algébrique de la forme \( a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \), où \( a_i \) sont des coefficients.
Dégre : L'exposant le plus élevé dans un polynôme.
Racine : Une solution de l'équation polynomiale, c'est-à-dire une valeur de \( x \) pour laquelle le polynôme est égal à zéro.
Formule quadratique : Utilisée pour résoudre des équations du second degré, donnée par \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Facteur : Un polynôme qui multiplie un autre polynôme.