Problèmes d'interpolation polynomiale pour débutants
Approfondissez vos connaissances avec ces problèmes simples d'interpolation polynomiale, tous corrigés pour un apprentissage facile et efficace.
Exercice sur l'Interpolation Polynomiale
Ce problème d'interpolation polynomiale consiste à trouver un polynôme de degré au plus \( n \) qui passe par \( n+1 \) points donnés. Dans cet exercice, nous allons répondre aux questions en utilisant la méthode de Lagrange pour interpoler les fonctions. Nous allons utiliser les points suivants : \( (1, 2) \), \( (2, 3) \), \( (3, 5) \), et \( (4, 7) \). Répondez aux questions ci-dessous :- Question 1 : Quel est le polynôme d'interpolation de Lagrange qui passe par ces points ?
- Question 2 : Calculez la valeur du polynôme en \( x = 2.5 \).
- Question 3 : Quel est le degré de ce polynôme ?
- Question 4 : Tracez le polynôme d'interpolation ainsi que les points d'origine sur un graphique.
- Question 5 : Vérifiez si le polynôme interpolé est correct en testant les points d'origine.
Règles de l'Interpolation Polynomiale
- Pour un ensemble de \( n+1 \) points, il existe un unique polynôme de degré au plus \( n \) qui passe par ces points.
- La formule d'interpolation de Lagrange est donnée par :
$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x)$$
où \( L_i(x) \) est le polynôme de Lagrange défini par :$$L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \e i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$
- Les coefficients \( y_i \) sont les valeurs fonctionnelles en \( x_i \).
- Pour une valeur d'interpolation \( x \), évaluez le polynôme en substituant \( x \) dans l'expression du polynôme.
Indications pour Résoudre le Problème
- Commencez par identifier les points à interpoler.
- Utilisez la formule de Lagrange pour construire le polynôme.
- Calculez les valeurs pertinentes en substituant les points dans le polynôme.
- Pour tracer le graphique, utilisez les fonctions de la bibliothèque Chart.js.
- Vérifiez vos calculs avec les points originaux pour assurer l'exactitude.
Solutions Détailées de l'Exercice
Question 1 : Pour trouver le polynôme d'interpolation de Lagrange, nous utilisons les points \( (1, 2) \), \( (2, 3) \), \( (3, 5) \), et \( (4, 7) \).
Calculons \( L_0(x), L_1(x), L_2(x), L_3(x) \) :
$$L_0(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)} = \frac{(x-2)(x-3)(x-4)}{-6}$$
$$L_1(x) = \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)} = \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{2}$$
$$L_2(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)} = \frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{-2}$$
$$L_3(x) = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)} = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}$$
Ensuite, appliquons les valeurs \( y_i = 2, 3, 5, 7 \) pour obtenir le polynôme \( P(x) \).
Le polynôme est :$$ P(x) = 2L_0(x) + 3L_1(x) + 5L_2(x) + 7L_3(x) $$
Question 2 : Pour calculer \( P(2.5) \), substituez \( x = 2.5 \) dans l'expression de \( P(x) \).
Question 3 : Le degré du polynôme est 3, car il est construit à partir de 4 points.
Question 4 : Pour tracer le polynôme, nous utiliserons Chart.js pour représenter le polynôme et les points. Voici le code pour créer le graphique :
Question 5 : Vérifiez si \( P(1) = 2 \), \( P(2) = 3 \), \( P(3) = 5 \) et \( P(4) = 7 \) en substituant les valeurs dans \( P(x) \).
Points Clés à Retenir
- Un polynôme d'interpolation est unique pour \( n+1 \) points.
- La méthode de Lagrange est efficace pour trouver le polynôme d'interpolation.
- Évaluer un polynôme à un point donné implique de substituer la valeur dans l'expression.
- Le degré d'un polynôme est déterminé par le nombre de points utilisés moins un.
- Les graphiques aident à visualiser le polynôme et les points d'origine.
- L'interpolation est essentielle dans de nombreux domaines scientifiques.
- Il est crucial de vérifier le polynôme pour assurer sa validité.
- Les méthodes numériques peuvent être utilisées pour des ensembles de données plus importants.
- Les polynômes peuvent avoir des comportements oscillatoires entre des points d'origine.
- La représentation graphique aide à comprendre la nature du polynôme.
Définitions Utiles
- Polynôme : Une expression mathématique formée par des termes additionnés, chacun consistant en une variable élevée à une puissance non négative et multipliée par un coefficient.
- Interpolation : Le processus de construction de nouveaux points à l'intérieur d'un intervalle de points connus.
- Degré d'un polynôme : La plus grande puissance à laquelle la variable est élevée dans un polynôme.
- Points d'interpolation : Les points dans le plan cartésien que le polynôme doit passer.
- Formule de Lagrange : Une méthode d'interpolation polynomiale qui donne le polynôme sous une forme explicite.
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