Évaluation complète en interpolation polynomiale

Évaluez vos connaissances avec cette série d'exercices complets et corrigés, couvrant tous les aspects fondamentaux de l'interpolation polynomiale.

Évaluation de l'Interpolation Polynomiale : Exercices Complets

Dans cet exercice, nous allons explorer des concepts associés à l'interpolation polynomiale. Résolvez chaque question en suivant les étapes indiquées.
Liste des questions :
  • Question 1 : Trouvez le polynôme d'interpolation de Lagrange pour les points donnés.
  • Question 2 : Calculez la valeur du polynôme d'interpolation à un point donné.
  • Question 3 : Vérifiez l'exactitude de l'interpolation en utilisant un graphique.
  • Question 4 : Déterminez le degré du polynôme d'interpolation.
  • Question 5 : Comparez l'interpolation de Lagrange avec l'interpolation de Newton.
  • Question 6 : Identifiez les erreurs possibles dans l'interpolation polynomiale.
  • Question 7 : Établissez un système d'équations basé sur l'interpolation polynomiale.
  • Question 8 : Expliquez l'application de l'interpolation polynomiale dans la réalité.

Règles et Méthodes de l'Interpolation Polynomiale

  • Formule de Lagrange : Le polynôme d'interpolation est donné par :

    f(x) = \sum_{j=0}^{n} f(x_j) L_j(x)

    où

    L_j(x) = \prod_{i \neq j} \frac{x - x_i}{x_j - x_i}

  • Degré du polynôme : Le degré du polynôme est généralement n-1 pour n points.
  • Erreur d'Interpolation : L'erreur d'interpolation peut être calculée par :

    R_n(x) = \frac{f^{(n)}(z)}{n!} \prod_{j=0}^{n}(x - x_j)

    où z se trouve entre les points d'interpolation.

Indications pour Résoudre les Exercices

  • Commencez par identifier les points pour l'interpolation.
  • Utilisez la formule de Lagrange pour chaque point.
  • Évaluez le polynôme pour vérification.
  • Tracez des graphiques pour visualiser l'interpolation.
  • Comparez avec d'autres méthodes d'interpolation si nécessaire.

Solutions Détailées des Questions

Question 1

Pour les points (1, 2), (2, 3), (3, 5), nous construisons le polynôme de Lagrange :

Solution :

Utilisons :

f(x) = f(x_0)L_0(x) + f(x_1)L_1(x) + f(x_2)L_2(x)

Calculons chaque L_j :

L_0(x) = (x - 2)(x - 3)/((1-2)(1-3)) = (x - 2)(x - 3)/2

L_1(x) = (x - 1)(x - 3)/((2-1)(2-3)) = -(x - 1)(x - 3)

L_2(x) = (x - 1)(x - 2)/((3-1)(3-2)) = (x - 1)(x - 2)/2

Le polynôme final est :

f(x) = 2L_0(x) + 3L_1(x) + 5L_2(x)

Question 2

Évaluons f(2.5) en remplaçant x par 2.5 dans le polynôme précédemment trouvé.

Question 3

Utilisez Chart.js pour tracer le graphique du polynôme d'interpolation.

Points Clés à Retenir

  • Un polynôme d'interpolation passe par tous les points donnés.
  • La méthode de Lagrange est directe mais peut être computationnellement intensive pour de nombreux points.
  • La méthode de Newton est plus efficace pour un grand nombre de points.
  • Les erreurs d'interpolation peuvent se produire si les points sont mal choisis.
  • L'interpolation polynomiale est utilisée dans la modélisation mathématique.

Définitions Clés

  • Interpolation Polynomiale : Le processus de trouver un polynôme qui correspond à un ensemble donné de points.
  • Polynôme d'Interpolation : Un polynôme construit pour passer exactement par les points d'interpolation choisis.
  • Erreur d'Interpolation : La différence entre la valeur d'un point réel et la valeur calculée par l'interpolateur.
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