Défis d'interpolation polynomiale pour élèves expérimentés

Relèvez des défis stimulants en interpolation polynomiale, parfaits pour les élèves de lycée désirant tester leurs limites et renforcer leur expertise.

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Défis d'interpolation polynomiale pour élèves expérimentés

Dans cet exercice, nous allons aborder des problèmes d'interpolation polynomiale. Vous serez amenés à travailler avec des polynômes et à explorer les différentes méthodes d'interpolation. Répondez aux questions suivantes sur l'interpolation polynomiale.

Règles et méthodes d'interpolation polynomiale

L'interpolation par des polynômes consiste à estimer des valeurs entre des points connus.
Les points doivent être distincts pour éviter des résultats indésirables.
On peut utiliser différents polynômes d'interpolation tels que Lagrange et Newton.
La forme du polynôme d'interpolation Lagrange est donnée par:
$$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$
où
$$L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$
Pour le polynôme de Newton, on utilise la forme incrémentale.

graph TD; A[Lagrange] --> B[Utilisation des points d'interpolation]; A --> C[Calcul de L_i(x)]; B --> D[Construction du polynôme final];

Indications pour résoudre les exercices d'interpolation

Toujours vérifier la distinction entre les points d'interpolation.
Utiliser des calculatrices ou logiciels pour des polynômes de haut degré afin d'éviter les erreurs.
Chaque méthode d'interpolation a ses avantages en fonction des situations.
Faire un graphique pour visualiser les points d'interpolation et le polynôme résultant peut aider à comprendre.

Corrigés des exercices

1. Considérez les points (1, 2), (2, 3) et (3, 5). Trouvez le polynôme d'interpolation de Lagrange.

La première étape est d'appliquer la formule de Lagrange:

$$P(x) = \sum_{i=0}^{2} y_i L_i(x)$$

Pour chaque point, calculons L_i(x):

Pour i=0:

$$L_0(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} = \frac{(x-2)(x-3)}{2}$$

Pour i=1:

$$L_1(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} = - (x-1)(x-3)$$

Pour i=2:

$$L_2(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}$$

En substituant ces valeurs dans P(x):

$$P(x) = 2L_0(x) + 3L_1(x) + 5L_2(x)$$

2. Trouvez les coefficients du polynôme d'interpolation de Newton pour les mêmes points.

Nous calculons d'abord les différences divisé.

Les valeurs de la première colonne sont: 2, 3, 5. Les différences sont:

1er Niveau: 3-2=1, 5-3=2 ➔ [1, 2]

2ème Niveau: 2-1=1 ➔ [1]

Polynôme Newton: $$P(x) = 2 + 1(x-1) + 1(x-1)(x-2)$$

3. Interpoler le point (4, y) en utilisant les deux polynômes trouvés.

Calculez P(4) pour chaque méthode.

Pour Lagrange: $P(4)= ...$

Pour Newton: $P(4)= ...$

4. Des points supplémentaires entre les interpolations peuvent-ils être ajoutés pour améliorer le polynôme d'interpolation ? Peut-on s'attendre à des résultats plus précis significativement ? Pourquoi ?

... Réponse détaillée...

5. Tracez le polynôme d'interpolation avec Chart.js.

... Code pour tracer ...

Points clés à retenir sur l'interpolation polynomiale

L'interpolation est utile pour estimer des fonctions entre des points connus.
Choisir la bonne méthode d'interpolation est crucial.
Les polynômes d'ordre élevé peuvent entraîner des oscillations entre les points.
Le polynôme d'interpolation doit passer par tous les points fournis.
L'analyse de l'erreur est importante pour la précision.
Les graphiques facilitent la visualisation des interpolations.
Les logiciels peuvent aider à effectuer des interpolations complexes.
La méthode de Lagrange est simple mais peut être lente pour plusieurs points.
La méthode de Newton est plus rapide pour un grand nombre de points.
Tester avec différents ensembles de points aide à la compréhension.

Définitions clés de l'interpolation polynomiale

Interpolation polynomiale : méthode permettant d'estimer des valeurs intermédiaires dans un ensemble de points.
Points d'interpolation : points connus que l’on utilise pour construire le polynôme.
Polynôme de Lagrange : formule qui construit un polynôme passant par un ensemble de points en utilisant des coefficients basés sur les distances aux autres points.
Polynôme de Newton : forme d'interpolation polynomiale qui utilise les différences divisées.
Différences divisées : une méthode pour générer les coefficients du polynôme de Newton.

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