Exercices simples de polynômes premier degré corr.

Découvrez des exercices corrigés simples sur les polynômes du premier degré pour renforcer vos bases en maths au collège.

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Exercices sur les polynômes du premier degré

Dans cet exercice, nous allons explorer les polynômes du premier degré, résoudre des équations et analyser des graphiques. Voici une liste de questions :

Question 1 : Déterminez la forme canonique du polynôme \( P(x) = 2x + 3 \).
Question 2 : Résoudre l'équation \( 2x + 3 = 7 \).
Question 3 : Trouver les coordonnées de l'intersection avec l'axe des ordonnées.
Question 4 : Dresser le tableau de signes du polynôme \( P(x) = 2x + 3 \).
Question 5 : Représentez graphiquement le polynôme \( P(x) \).
Question 6 : Quel est le coefficient directeur de \( P(x) \) ? Que représente-t-il ?
Question 7 : Quelle est l'image de \( x = 1 \) par le polynôme \( P(x) \) ?
Question 8 : Trouvez les racines de \( P(x) = 0 \).

Règles fondamentales sur les polynômes du premier degré

Un polynôme du premier degré est de la forme générale \( P(x) = ax + b \) où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels.
Le coefficient \( a \) est le coefficient directeur, qui détermine la pente de la droite.
Pour résoudre \( P(x) = 0 \), on cherche la valeur de \( x \) qui annule le polynôme.
L'ordonnée à l'origine est donnée par \( b \) lorsque \( x = 0 \).

graph TD; A[Polynôme du premier degré] --> B[Forme générale: P(x) = ax + b] B --> C[Coefficient directeur a] B --> D[Ordonnée à l'origine b] C --> E[Résolution: P(x) = 0]

Indications pour résoudre les exercices

Identifiez les coefficients \( a \) et \( b \) dans l'équation du polynôme.
Pour la résolution, déplacez \( b \) de l'autre côté de l'équation pour isoler \( x \).
Tracez la droite en utilisant le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
Utilisez un tableau de signes pour déterminer le signe du polynôme sur les intervalles déterminés par la racine.

Solutions détaillées des exercices

Question 1 :

La forme canonique du polynôme \( P(x) = 2x + 3 \) est déjà donnée, avec \( a = 2 \) et \( b = 3 \).

Question 2 :

Pour résoudre l'équation \( 2x + 3 = 7 \) :

Soustrayez 3 des deux côtés : \( 2x = 4 \).
Divisez par 2 : \( x = 2 \).

Question 3 :

Pour trouver les coordonnées de l'intersection avec l'axe des ordonnées, mettez \( x = 0 \) :

Donc, \( P(0) = 3 \). L'intersection est le point \( (0, 3) \).

Question 4 :

Le tableau de signes de \( P(x) = 2x + 3 \) est :

graph TD; A[Tableau de signes P(x) = 2x + 3] --> B[Pour x < -3/2, P(x) < 0] B --> C[Pour x = -3/2, P(x) = 0] C --> D[Pour x > -3/2, P(x) > 0]

Question 5 :

Graphiquement, le polynôme \( P(x) = 2x + 3 \) monte avec une pente de 2. Voici le graphique :

Question 6 :

Le coefficient directeur \( a = 2 \) signifie que pour chaque augmentation de 1 de \( x \), \( P(x) \) augmente de 2.

Question 7 :

Pour trouver l'image de \( x = 1 \) : \( P(1) = 2(1) + 3 = 5 \).

Question 8 :

Pour trouver la racine, résolvez \( P(x) = 0 \) : \( 2x + 3 = 0 \), donc \( x = -\frac{3}{2} \).

Points clés à retenir sur les polynômes du premier degré

Un polynôme du premier degré a toujours une forme \( P(x) = ax + b \).
Le signe du polynôme dépend de la valeur de \( x \) par rapport à la racine.
Le coefficient \( a \) détermine la pente de la droite.
L'ordonnée à l'origine est le point où \( x = 0 \).
Pour résoudre une équation, isolez \( x \).
Un polynôme du premier degré peut croître ou décroître.
Le graphique est une droite et donc est continu.
Pour les polynômes du premier degré, il n'y a qu'une seule racine.
Les polynômes sont souvent utilisés pour modéliser des relations linéaires.
Comprendre les tables de signes aide à visualiser les solutions.

Définitions des termes clés

Polynôme du premier degré : Une expression mathématique de la forme \( P(x) = ax + b \).
Coefficient directeur : Le coefficient \( a \) qui détermine la pente de la droite.
Ordonnée à l'origine : La valeur du polynôme lorsque \( x = 0 \).
Racine : La valeur de \( x \) pour laquelle le polynôme est égal à zéro.
Tableau de signes : Un outil pour déterminer les signes d'un polynôme sur des intervalles.