Exercices intermédiaires polynômes 1er degré avec solutions
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Exercices intermédiaires sur les polynômes du premier degré
Voici un ensemble de questions sur les polynômes du premier degré. Pour résoudre ces exercices, vous devrez appliquer vos connaissances de base sur les polynômes et le calcul algébrique.Énoncé :
- 1. Déterminez l'expression du polynôme suivant : \( P(x) = 3x + 7 \)
- 2. Calculez \( P(2) \) pour le polynôme défini ci-dessus.
- 3. Trouvez la valeur de \( x \) pour laquelle \( P(x) = 10 \).
- 4. Identifiez la pente et l'ordonnée à l'origine du polynôme \( P(x) = -2x + 5 \).
- 5. Représentez graphiquement le polynôme \( P(x) = x - 4 \) sur l'intervalle [-2, 5].
- 6. Résolvez l'équation \( 5x - 3 = 2x + 6 \).
- 7. Montrez que le polynôme \( P(x) = 4x + 1 \) est croissant.
- 8. Établissez un tableau de variations pour le polynôme \( P(x) = 2x - 8 \).
Règles et méthodes des polynômes du premier degré
- Un polynôme du premier degré a la forme \( P(x) = ax + b \) où \( a \) et \( b \) sont des constantes.
- La pente du polynôme est donnée par \( a \) et l'ordonnée à l'origine est \( b \).
- Pour évaluer un polynôme, remplacez \( x \) par une valeur donnée.
- Pour résoudre \( P(x) = k \), isolez \( x \) pour trouver sa valeur.
graph TD;
A[Polynôme du 1er degré] --> B[Forme générale P(x) = ax + b];
B --> C[Pente = a];
B --> D[Ordonnée à l'origine = b];
C --> E[Inclinaison positive (a > 0)];
C --> F[Inclinaison négative (a < 0)];
Indications pour résoudre les exercices
- Utilisez l'évaluation directe pour calculer \( P(x) \) à une valeur donnée.
- Pour les équations, réorganisez-les pour isoler \( x \).
- Pour le graphique, tracez les points en utilisant les valeurs de \( x \) pour obtenir \( P(x) \).
- Analyser le signe de \( a \) pour comprendre les variations du polynôme.
Solutions détaillées des exercices
1. L'expression du polynôme est déjà donnée : \( P(x) = 3x + 7 \).
2. Pour calculer \( P(2) \), substituez \( x \) par 2 : \( P(2) = 3(2) + 7 = 6 + 7 = 13 \).
3. Résolvez \( P(x) = 10 \) : \( 3x + 7 = 10 \) \(\Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1\).
4. Dans \( P(x) = -2x + 5 \), la pente est -2 et l'ordonnée à l'origine est 5.
5. Graphe du polynôme \( P(x) = x - 4 \) :
6. Résolvons : \( 5x - 3 = 2x + 6 \Rightarrow 5x - 2x = 6 + 3 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \).
7. Dans \( P(x) = 4x + 1 \), la pente 4 > 0, donc le polynôme est croissant.
8. Tableau de variations pour \( P(x) = 2x - 8 \):
graph TD;
A[Début] --> B[Pente positive];
B --> C[Croissant];
C --> D[Fin];
Points clés à retenir sur les polynômes du premier degré
- Polynôme de la forme \( ax + b \).
- Pente et ordonnée à l'origine.
- Évaluation directe.
- Résolution d'équations du type \( P(x) = k \).
- Graphe linéaire.
- Comportement monotone selon le signe de \( a \).
- Application de propriétés de proportions.
- Représentation graphique des variations.
- Connaître la relation entre \( a \) et \( P(x) \).
- Maîtrise du tableau de variations.
Définitions clés des polynômes du premier degré
- Polynôme du premier degré : Une expression de la forme \( P(x) = ax + b \) avec \( a \neq 0 \).
- Pente : Coefficient directeur \( a \) qui indique l'inclinaison de la droite.
- Ordonnée à l'origine : Valeur \( b \) où la droite croise l'axe des ordonnées.
- Évaluation : Processus de substitution d'une valeur dans un polynôme.
- Tableau de variations : Représentation des croissances et des décroissances d'un polynôme.
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