Exercices faciles corrigés sur les polynômes du second degré
Retrouvez des exercices faciles et corrigés sur les polynômes du second degré pour renforcer vos bases en mathématiques niveau collège et lycée.
Exercices faciles corrigés sur les polynômes du second degré
Résoudre les exercices suivants sur les polynômes du second degré.Règles et Formules des Polynômes du Second Degré
- Un polynôme du second degré est de la forme : $P(x) = ax^2 + bx + c$, avec $a \neq 0$.
- Le discriminant est donné par : $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Selon le discriminant, on a :
- Si $\Delta > 0$: Deux solutions distinctes.
- Si $\Delta = 0$: Une solution double.
- Si $\Delta < 0$: Pas de solution réelle.
- Les solutions sont données par : $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Indications pour résoudre les exercices
- Identifier les coefficients $a$, $b$, et $c$ dans le polynôme.
- Calculer le discriminant $\Delta$.
- Déterminer le nombre de solutions selon la valeur de $\Delta$.
- Utiliser la formule pour trouver les solutions si besoin.
graph TD; R1[Calculer le discriminant] --> R2[Test du discriminant]; R2 --> |Delta>0| R3[Deux solutions distinctes]; R2 --> |Delta=0| R4[Une solution double]; R2 --> |Delta<0| R5[Pas de solution réelle];
Corrigés des Exercices
Exercice 1
Soit le polynôme $P(x) = 2x^2 - 4x + 2$. Déterminons les solutions.
Étape 1 : Identifier les coefficients : $a = 2$, $b = -4$, $c = 2$.
Étape 2 : Calculer le discriminant :
$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 16 - 16 = 0$$
Étape 3 : Puisque $\Delta = 0$, il y a une solution double :
$$x = \frac{-(-4)}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1$$
Solutions : $x = 1$ (solution double).
Exercice 2
Considérons le polynôme $P(x) = x^2 + 3x + 2$. Trouvons les solutions.
Étape 1 : Coefficients : $a = 1$, $b = 3$, $c = 2$.
Étape 2 : Discriminant :
$$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1$$
Étape 3 : Puisque $\Delta > 0$, on a deux solutions :
$$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{-3 \pm 1}{2}$$
Solutions : $x_1 = -1$ et $x_2 = -2$.
Exercice 3
Résolvons le polynôme $P(x) = -x^2 + 4$. Trouvons les solutions.
Étape 1 : Coefficients : $a = -1$, $b = 0$, $c = 4$.
Étape 2 : Discriminant :
$$\Delta = 0 - 4(-1)(4) = 16$$
Étape 3 : Deux solutions :
$$x_{1,2} = \frac{-0 \pm \sqrt{16}}{2 \times -1} = \frac{\pm 4}{-2}$$
Solutions : $x_1 = -2$ et $x_2 = 2$.
Exercice 4
Pour le polynôme $P(x) = x^2 + 2x + 5$, déterminons les solutions.
Étape 1 : Coefficients : $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$.
Étape 2 : Discriminant :
$$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$
Étape 3 : Comme $\Delta < 0$, il n'y a pas de solution réelle.
Solutions : Pas de solutions réelles.
Points Clés à Retenir
- Forme générale d'un polynôme du second degré.
- Calcul du discriminant pour déterminer les solutions.
- Solutions distinctes, doubles ou inexistantes selon $\Delta$.
- Utilisation de la formule des racines.
- Interprétation graphique des polynômes.
- Le rôle des coefficients dans le polynôme.
- La symétrie des racines par rapport à l'axe des ordonnées.
- Les polynômes peuvent avoir des racines complexes.
- Importance de $a$ pour la direction de la parabole.
- Applications pratiques des équations quadratiques.
Définitions des Termes Utilisés
- Polynôme du second degré : Polynôme de la forme $P(x) = ax^2 + bx + c$.
- Discriminant : Valeur qui permet de déterminer la nature des racines d'un polynôme.
- Solutions : Valeurs de $x$ pour lesquelles $P(x) = 0$.
- Racines : Les valeurs de $x$ pour lesquelles le polynôme s'annule.
- Coefficients : Les nombres $a$, $b$, $c$ dans un polynôme.
Analyse comparative des équations du second degré résolues