Problèmes intermédiaires de polynômes du second degré avec solutions

Entraînez-vous avec ces problèmes de niveau intermédiaire sur les polynômes du second degré, accompagnés de solutions détaillées pour vous guider.

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Exercice sur les polynômes du second degré

Considérons le polynôme du second degré suivant : $P(x) = ax^2 + bx + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels. Répondre aux questions suivantes :

1. Déterminer le discriminant de $P(x)$.
2. Déterminer les solutions de l'équation $P(x)=0$.
3. Etudier le signe de $P(x)$.
4. Tracer la courbe de $P(x)$ pour $a=1$, $b=-3$ et $c=2$.
5. Analyser les racines de $P(x)$ et leur impact sur le graphe.
6. Résoudre l'inéquation $P(x) \leq 0$.

Règles et méthodes concernant les polynômes du second degré

La forme générale d'un polynôme du second degré est $P(x) = ax^2 + bx + c$.
Le discriminant est donné par $\Delta = b^2 - 4ac$.
Les solutions de l'équation $P(x)=0$ sont données par la formule : $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Pour étudier le signe de $P(x)$, on regarde $\Delta$ et le signe de $a$.
Si $\Delta > 0$, il y a deux racines distinctes. Si $\Delta = 0$, il y a une racine double. Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles.
Pour tracer la courbe, il est important de déterminer le sommet et les racines.

Indications pour résoudre les problèmes de polynômes

Calculez d'abord le discriminant pour déterminer le nombre de racines.
Appliquez la formule quadratique pour trouver les racines.
Utilisez le signe de $a$ pour déterminer l'orientation de la parabole (vers le haut ou le bas).
Tracez les points clés : racines et sommet.
Vérifiez les valeurs de $P(x)$ en des points stratégiques entre les racines.
Pour les inéquations, utilisez le tableau de signe.

Corrections détaillées des questions

1. Déterminez le discriminant de $P(x)$.

Le discriminant est : $\Delta = b^2 - 4ac$. Pour $P(x) = x^2 - 3x + 2$, nous avons $a=1$, $b=-3$, $c=2$. Alors :

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$

2. Déterminez les solutions de l'équation $P(x)=0$.

Avec $\Delta = 1$, il y a deux solutions :

$$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}$$

$$x_1 = 2, \quad x_2 = 1$$

3. Etudiez le signe de $P(x)$.

Comme $P(x)$ est une parabole tournée vers le haut ($a=1 > 0$), et que les racines sont $x=1$ et $x=2$, la fonction est positive en dehors de l'intervalle $[1, 2]$ et négative à l'intérieur.

4. Tracez la courbe de $P(x)$ pour $a=1$, $b=-3$ et $c=2$.

Utilisez Chart.js pour dessiner la parabole :

5. Analysez les racines et leur impact sur le graphe.

Les racines $x=1$ et $x=2$ sont les points où la fonction touche l'axe des abscisses. Le sommet de la parabole est à $x=1.5$, avec $P(1.5) = -0.25$. Cela montre que la fonction atteint un minimum à ce point avant de remonter.

6. Résolvez l'inéquation $P(x) \leq 0$.

Nous avons vu que $P(x)$ est négatif pour $x \in [1, 2]$. Donc, la solution à l'inéquation est :

$$(1 \leq x \leq 2)$$

Points clés à retenir sur les polynômes du second degré

Le discriminant détermine le nombre de solutions.
Pour $a > 0$, la parabole s'ouvre vers le haut.
Pour $a < 0$, la parabole s'ouvre vers le bas.
Le sommet de la parabole est le point minimal/maximal.
Les racines peuvent être réelles ou complexes.
L'intervalle des solutions d'une inéquation peut être trouvé via le tableau de signes.
Le tracé de la parabole aide à visualiser le comportement de la fonction.
Les points d'intersection avec l'axe des ordonnées sont déterminés par $P(0) = c$.
Le discriminant nul indique une racine double.
Les inéquations quadratiques suivent les mêmes propriétés que les équations.

Définitions des termes utilisés

Polynôme du second degré : Fonction de la forme $P(x) = ax^2 + bx + c$ où $a \neq 0$.
Discriminant : Valeur calculée par $\Delta = b^2 - 4ac$ permettant de déterminer le nombre de solutions d'un polynôme.
Racine : Valeur de $x$ pour laquelle $P(x) = 0$.
Sommet : Point de la parabole où la fonction atteint son maximum ou minimum.
Tableau de signes : Outil pour analyser le signe d'une fonction sur un intervalle donné.