Analyse comparative des équations du second degré résolues

Développez vos compétences en comparant diverses méthodes de résolution d'équations du second degré, particulièrement adaptées aux étudiants de niveau collège et lycée.

Analyse comparative des équations du second degré

Nous allons examiner plusieurs équations du second degré et résoudre chacune d'elles, puis les comparer. Voici les équations que nous allons analyser :

1) \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a = 1, b = -3, c = 2 \)
2) \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a = 1, b = -5, c = 6 \)
3) \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a = 1, b = -4, c = 4 \)
4) \( ax^2 + bx + c = 0 \) avec \( a = 2, b = 4, c = 2 \)

Règles et formules à retenir

Formule du discriminant : \( D = b^2 - 4ac \)
Solutions de l'équation : \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
Si \( D > 0 \), l'équation a deux solutions réelles distinctes
Si \( D = 0 \), l'équation a une solution réelle double
Si \( D < 0 \), l'équation n'a pas de solutions réelles

graph TD; A[Équation] --> B[Calcul du Discriminant] B --> C{D > 0?} C -->|Oui| D[Deux solutions] C -->|Non| E{D = 0?} E -->|Oui| F[Une solution double] E -->|Non| G[Aucune solution réelle]

Indications pour résoudre les équations

Identifiez les coefficients \( a, b, c \) de l'équation.
Calculez le discriminant \( D \).
Interprétez le discriminant pour déterminer le nombre de solutions.
Utilisez la formule quadratique pour trouver les solutions si elles existent.

Solutions détaillées des questions

1) Équation : \( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

Calculons le discriminant :

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)

Comme \( D > 0 \), nous avons deux solutions :

\( x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

2) Équation : \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Discriminant :

\( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)

Solutions :

\( x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

3) Équation : \( x^2 - 4x + 4 = 0 \)

Discriminant :

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \)

Solution double :

\( x = \frac{4}{2} = 2 \)

4) Équation : \( 2x^2 + 4x + 2 = 0 \)

Discriminant :

\( D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 - 16 = 0 \)

Solution double :

\( x = \frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \)

Comparons les solutions dans un graphique :

Points clés à retenir

Comprendre le rôle du discriminant dans le type de solutions.
Savoir utiliser la formule quadratique pour trouver les solutions.
Différencier entre les solutions réelles et complexes.
Savoir interpréter les coefficients dans l’équation quadratique.
Reconnaître des cas particuliers comme les racines double.
Analyser graphiquement les équations du second degré.
Utiliser des outils de calcul pour valider les résultats.
Pratiquer sur différentes équations pour bien assimiler le concept.
Comprendre l'importance d'un bon calcul et d'une vérification.
Exploiter le théorème de Viète pour les relations entre les racines.

Définitions des termes utilisés

**Équation du second degré** : Une équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) où \( a \neq 0 \).
**Discriminant** \( D \) : Un nombre calculé à partir des coefficients de l'équation, qui détermine le nombre de solutions.
**Solutions** : Les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'équation est vraie.
**Racine double** : Une solution qui apparaît deux fois.
**Équation indéterminée** : Une équation qui n'a pas de solution.

Exercices corrigés :Analyse comparative des équations du second degré résolues

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