Applications avancées des polynômes du second degré corrigées
Découvrez des exercices corrigés d'applications avancées des polynômes du second degré, conçus pour les élèves cherchant à approfondir leurs connaissances en mathématiques.
Applications avancées des polynômes du second degré
Soit le polynôme du second degré \( P(x) = ax^2 + bx + c \) avec \( a \neq 0 \). On considère le problème suivant :1. Déterminer les racines du polynôme en fonction des coefficients.2. Représenter graphiquement la fonction associée dans le cas où \( a = 1, b = -3, c = 2 \).3. Étudier le comportement du polynôme pour \( x \to -\infty \) et \( x \to +\infty \).4. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole.5. Vérifier si \( P(x) \) est positif ou négatif selon les valeurs de \( x \).6. Trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( P(x) \leq 0 \).7. Résoudre une équation du type \( P(x) = k \) pour \( k \in [0, 5] \).Règles fondamentales des polynômes du second degré
- Formule des racines : \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) où \( D = b^2 - 4ac \).
- Le sommet de la parabole est donné par \( S\left(-\frac{b}{2a}, P\left(-\frac{b}{2a}\right)\right) \).
- Comportement critique : \( P(x) \to +\infty \) lorsque \( x \to +\infty \) et \( a > 0 \).
- Pour déterminer les intervalles, étudier le signe du discriminant \( D \).
Indications pour résoudre les exercices
- Racines : Utiliser la formule quadratique pour trouver les racines.
- Graphique : Tracer la fonction avec les points d'intersection et le sommet.
- Comportement : Analyser la limite du polynôme pour chaque extrémité.
- Sommet : Les coordonnées peuvent être dérivées de la formule indiquée.
- Signe : Tester des valeurs dans les intervalles délimités par les racines.
Corrigés détaillés
Question 1:
Pour déterminer les racines, calculons le discriminant :
Soit \( D = b^2 - 4ac \).
Les racines sont :
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Question 2:
On considère le polynôme \( P(x) = x^2 - 3x + 2 \).
Pour tracer la fonction, nous calculons les racines :
- Discriminant : \( D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 1 \) (racines réelles).
- Racines : \( x_1 = 2, x_2 = 1 \).
Question 3:
Pour étudier le comportement à l'infini :
- Lorsque \( x \to -\infty \), alors \( P(x) \to +\infty \) (car \( a > 0 \)).
- Lorsque \( x \to +\infty \), alors \( P(x) \to +\infty \).
Question 4:
D'après la formule, le sommet est :
\( S\left(\frac{-(-3)}{2 \cdot 1}, P\left(\frac{3}{2}\right)\right) \)
Calculons \( P\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = -\frac{1}{4} \).Donc le sommet est \( S\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4}\right) \).Question 5:
Pour avoir \( P(x) \) positif/ négatif :
Tester les valeurs entre et en dehors des racines.
On trouve que \( P(x) \) est :
- Positif pour \( x < 1 \) et \( x > 2 \).
- Négatif entre \( 1 < x < 2\).
Question 6:
Pour \( P(x) \leq 0 \), on a \( 1 \leq x \leq 2 \).
Question 7:
Pour l'équation \( P(x) = k \), on pose \( x^2 - 3x + (2-k) = 0 \). Calculons les racines pour chaque \( k \) entre \( 0 \) et \( 5 \) en ajustant le discriminant.
Points clés à retenir
- Un polynôme du second degré a toujours une forme classique \( ax^2 + bx + c \).
- Le discriminant détermine la nature des racines.
- La représentation graphique montre un minimum ou un maximum selon le signe de \( a \).
- Le sommet de la parabole est un point crucial dans l'analyse.
- Les signes des polynômes varient selon les intervalles délimités par les racines.
- Les solutions d'une équation quadratique peuvent être trouvées par substitution.
- Le comportement asymptotique est crucial pour comprendre le polynôme.
- Les polynômes se factorisent parfois facilement, rendant la résolution plus simple.
- Les applications pratiques incluent des résultats en physique et en économie.
- La corrélation entre coefficients et forme graphique est une clé importante pour l'analyse.
Définitions et termes importants
- Polynôme du second degré : Une fonction de la forme \( P(x) = ax^2 + bx + c \) avec \( a \neq 0 \).
- Racines : Les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( P(x) = 0 \).
- Discriminant : \( D = b^2 - 4ac \), utilisé pour déterminer la nature des racines.
- Sommet : Point d'extrême dans le cas d'une parabole.
- Intervalles : Domaines dans lesquels une fonction conserve le même signe.
Résolution de problèmes complexes de polynômes