Exercices simples sur les événements dépendants

Corrections des Questions

Question 1

En une urne, il y a 3 boules rouges et 2 boules bleues. Si on tire une boule au hasard, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge puis une boule bleue ?

Solution :
- La probabilité de tirer une boule rouge : \[ P(R) = \frac{3}{5} \]
- Si une boule rouge est tirée, il reste 4 boules (2 bleues et 2 rouges), donc la probabilité de tirer une boule bleue après avoir tiré une rouge : \[ P(B|R) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
- La probabilité d'un tirage successif est : \[ P(R \cap B) = P(R) \times P(B|R) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \]

Question 2

Si l'on considère que le tirage est effectué sans remise, quelle est la probabilité de tirer d'abord une boule bleue, puis une rouge ?

Solution :
- La probabilité de tirer une boule bleue : \[ P(B) = \frac{2}{5} \]
- Après avoir tiré une boule bleue, il reste 4 boules (3 rouges et 1 bleue), donc : \[ P(R|B) = \frac{3}{4} \]
- Donc, la probabilité est : \[ P(B \cap R) = P(B) \times P(R|B) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \]

Question 3

Quelle est la probabilité de tirer successivement deux boules rouges ?

Solution :
- La probabilité de tirer une première boule rouge : \[ P(R_1) = \frac{3}{5} \]
- Après le premier tirage, il reste 2 boules rouges et 2 bleues : \[ P(R_2|R_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
- Donc : \[ P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \]

Question 4

Si l'on tire à deux reprises, quelle est la probabilité de ne pas tirer de boule bleue ?

Solution :
- Nombre de façons de tirer sans boule bleue (2 rouges) est \[ P(R_1 \cap R_2) \]
- Cela équivaut à nous calculer au total de tirer 2 rouges : ce que nous avons fait dans la question 3.
- Puisque nous ne voulons pas avoir des bleues, cela signifie que cette probabilité est \(\frac{3}{10}\).